1679
правок
Изменения
→10 Наилучшее приближение в НП и его свойства
= 10 Наилучшее приближение в НП и его свойства =
Пусть <tex>X</tex> {{TODO---}} нормированное пространство, к примеру, <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex> (тригонометрических полиномов степени не больше <tex>n</tex>).{{Определение|definition = Для любого <tex> x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.Если при этом существует <tex>y^* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=\|x-y^*\|</tex>, то этот <tex>y^*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>x</tex>'''.}}Заметим: гарантий, что <tex>y^*</tex> единственный и что он вообще существует, нет.{{Утверждение|t statement= пилимНаилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.}}{{Теорема|statement=Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, <tex>\dim Y < +\infty</tex>, тогда <tex>\forall x \in X</tex> существует элемент наилучшего приближения <tex>x</tex>.}}
= 11 Существование элемента наилучшего приближения =
