223
правки
Изменения
м
Нет описания правки
{{Определение
|definition = Определим так называемые '''суммы Фейера''', как среднее арифметическое сумм Фурье:
<tex>\sigma_n(f,x) = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}S_nS_k(f,x)</tex>.
}}
Именно с этим фактом связана трудность исследования рядов Фурье в индивидуальной точке, в отличии от сумм Фейера, где ядро положительно и условия сходимости выписываются проще.
Поясним смысл сумм Фейера: в свое время, рассматривая числовые ряды, мы говорили, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k = \lim\limits_{n \to \infty}S_n</tex>, где <tex>S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_na_k</tex>. Для расходящихся рядов можно применять обобщенные методы суммирования, главное, чтобы выполнялись [[Суммирование_расходящихся_рядов#правила суммирования|свойства перманентности и эффективности]]. К примеру, если <tex>\sigma_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{nk=1}^{\infty}S_k \to S</tex>, то <tex>\sum\limits_{nk=1}^{\infty}a_n a_k = S</tex> по методу средних арифметических.
В точно таком же смысле, если взять ряд Фурье: <tex>\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})=\lim\limits_{n \to \infty}S_n(f,x)=\lim\limits_{n \to \infty}\sigma_n(f,x)</tex>(с.а.). В этом и состоит смысл введения сумм Фейера.
