1679
правок
Изменения
Нет описания правки
{{В разработке}}
В этом параграфе установим ряд (теорем?), гарантирующих, что <tex>\lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_0^\pi \varphi_x(t) D_n(t) dt = 0</tex>, что равносильно <tex>s_n(f, x) \to s</tex>.
Значит, <tex>\frac{|\varphi_x(t)|}t</tex> ограничена справа от нуля, а значит, суммируемая.
}}
=== Следствие 2 ===
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>x</tex> {{---}} регулярная точка функции и <tex>s_n(f, x) \to s</tex>.
Тогда <tex>y s = \frac{f(x+0)-f(x-0)}2</tex>
|proof=
<tex>x</tex>{{---}} регулярная точка <tex>\Rightarrow</tex> по следствию теоремы Фейера,
<tex>\delta_nsigma_n(f, x) \to \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}</tex>
Но суммы Фейера {{---}} способ средних арифметических для сумм ряда Фурье.
Способ средних арифметических регулярен: то есть, если <tex>s_n(f, x) \ to s</tex>, то и <tex>\delta_nsigma_n(f, x) \to s</tex>.
Тогда, по единственности предела, <tex>s=\frac{f(x+0)-f(x-0)}{2}</tex>
}}
=== Следствие 3 ===
{{Утверждение
<tex>f, g \in C</tex>, <tex>a_n(f)=a_n(g)</tex>, <tex>b_n(f) = b_n(g)</tex>, тогда <tex>f=g</tex>
|proof=
Действительно, из совпадания коэффициентов Фурье вытекает совпадение сумм Фейера, но в силу принадлежности <tex>C</tex>, <tex>\delta_n sigma_n(f) \to f</tex>, <tex>\delta_n sigma_n(g) \to g</tex>. Тогда, совпоставляя с равентсом равенством сумм, по единственности предела, f=g
}}
