223
правки
Изменения
м
Нет описания правки
Пусть <tex>\overline{\alpha}^{(m)} \to \overline{\alpha}</tex>, <tex>\overline{\alpha}^{(m)} \in T</tex>, так как сходимость покоординатная, то <tex>\alpha^{(m)}_k \to \alpha_k</tex> для <tex>k = \overline{1,n}</tex>.
Если <tex>\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(m)}_ke_k\| \to \|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|</tex>, то, так как <tex>\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|\le M+ \|x\|</tex>, предел нормы ограничен этим же значением, тогда <tex>\overline{\alpha}\in T</tex>, и <tex>T</tex> замкнуто.
<tex>|\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(nm)}_ke_k\|-\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|| \le \|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(nm)}_ke_k-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_ke_k\|=\|\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(nm)}_k-\alpha_k)e_k\| \le </tex>
<tex> \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\|e_k\|^2}\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(nm)}_k-\alpha_k)^2}</tex>.
Так как <tex>\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(nm)}_k-\alpha_k)^2} \to 0</tex>, то <tex>T</tex> {{---}} замкнуто.
2) ''Ограниченность''
