689
правок
Изменения
м
Нет описания правки
[[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке|<<]][[Интеграл Римана-Стилтьеса|>>]]
Рассмотрим <tex>f : [a, b] \to \mathbb{R}</tex> и ее разбиение <tex>\tau: a = x_0 < x_1 \dots < x_n = b</tex>
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
}}
Замечание: попутно за <tex>\bigvee</tex> будем обозначать класс <tex> 2 \pi</tex>-периодических функций ограниченной вариации на <tex> Q </tex>.
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>f</tex> монотонно не убываетнеубывает, тогда она ограниченной вариации.
|proof=
По определению неубывания, <tex>|f(x_{k+1}) - f(x_k)| = f(x_{k+1}) - f(x_k)</tex>, тогда вариация равна <tex>f(b) - f(a)</tex>, то есть конечна. Аналогично с не возрастающей невозрастающей функцией.
}}
{{Утверждение
|proof=
<tex>f' < M \Rightarrow \bigvee_a^b (f) \le M(b - a) \le + \infty</tex>
{{TODO|t=НЕ ОЧЕНЬ ПОНИМАЮ, ЗАЧЕМ ВООБЩЕ ЭТО УТСВЕРЖДЕНИЕ ТУТ}}
}}
Не все непрерывные функции имеют ограниченную вариацию.
|proof=
Возьмем <tex>f(x) = x \sin(\frac 1x), x \int [0; 1], f(0) = 0</tex>.
Возьмем систему точек <tex>x_k = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k}</tex>. <tex> f(x_k) = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k} \sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) = \frac{(-1)^k}{\frac{\pi}{2} + \pi k}</tex>.
<tex> | f(x_k) - f(x_{k+1}) | = | \frac{(-1)^k}{\frac{\pi}{2} + \pi k} - \frac{(-1)^{k+1}}{\frac{\pi}{2} + \pi (k + 1)}| = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k} + \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi (k + 1)}</tex>. Видно, что это образует расходящийся гармонический ряд, сумма которого имеет порядок <tex> \ln(n) </tex>.
<tex> \tau_1 \cup \tau_2 = a = x_0 < \dots < x_{p+m} = c </tex>.
По определению полной вариации, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \tau_1, \tau_2: \bigvee\limits_a^b (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1), \bigvee\limits_b^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2)</tex>.
<tex> \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c(f) - 2 \varepsilon < \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1) + \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2) = \bigvee\limits_a^c (f, \tau_1 \cup \tau_2) \le \bigvee\limits_a^c(f) </tex>
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
|proof=
Возьмем в качестве <tex>f_1</tex> функцию <tex>f_1(x) = \bigvee\limits_a^x (f)</tex>, тогда по аддитивности она будет не убыватьнеубывать.Определим как <tex>f_2</tex> функцию <tex>f_2(x) = f_1(x) - f(x)</tex>. Докажем, что она монотонно не убываетнеубывает. Пусть <tex>\tau: a < x_1 < x_2 < b</tex>. Надо доказать, что <tex>f_1(x_1) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f(x_2)</tex>, или что <tex>f(x_2) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f_1(x_1) = \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)</tex> (используем утверждение 1).Но действительно <tex> f(x_2) - f(x_1) \le |(f(x_2) - f(x_1))| \le \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)</tex>, ч. т. д.
Надо доказать, что <tex>f_1(x_1) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f(x_2)</tex>, или что <tex>f(x_2) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f_1(x_1) = \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)</tex> (используем утверждение 1). Но, действительно, <tex> f(x_2) - f(x_1) \le |f(x_2) - f(x_1)| = \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f, \tau) \le \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)</tex>, ч. т. д. В обратную сторону следствие верно, так как монотонные функции — ограниченные вариацией- функции ограниченной вариации, и их разность, линейная комбинация функций ограниченной вариации тоже ограниченая вариациейявляется функцией ограниченной вариации.
}}
== См. также ==
[http://matematika.phys.msu.ru/files/stud_spec/127/lectionii-1.pdf]
[[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке|<<]][[Интеграл Римана-Стилтьеса|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
