68
правок
Изменения
Нет описания правки
Под выражением <tex>\exists I</tex> будем понимать <tex> \exists x_{I,1,c_1} \, \exists x_{I,1,c_2} \ldots \exists x_{I,1,c_\Omega} \, \exists x_{I,2,c_1} \ldots</tex> Аналогично выражение <tex> \forall I</tex> обозначает <tex> \forall x_{I,1,c_1} \, \forall x_{I,1,c_2} \ldots \forall x_{I,1,c_\Omega} \, \forall x_{I,2,c_1} \ldots</tex>
Рассмотрим функцию <tex>\phi(A, B, t)</tex>, проверяющую следующее условие: конфигурация <tex>B</tex> достижима из конфигурации <tex>A</tex> не более, чем за <tex>2^t</tex> шагов.
<tex>\phi(A, B, 0) = (A = B) \lor (A \vdash B)</tex>.
<tex>\phi(A, B, t) = \exists R \, [\phi(A, R, t-1) \land \phi(R, B, t-1)]</tex>.
Общую длину получившейся формулы можно представить как <tex>L(t) = L(t-1)*2+const</tex>. Заметим, что данная формула имеет из-за умножения на 2 на каждом шаге рекурсии <tex>L(t)</tex> будет иметь экспоненциальный размеротносительно <tex>t</tex>. Нас это не устраивает, так как за один шаг рекурсии длина пути уменьшается на одни, а размер формулы удваиваетсянам необходимо полиномиальное сведение. Поэтому воспользуемся квантором <tex>\forall</tex> и перепишем её следующим образом:
<tex>\phi(A, B, t) = \exists R \,\forall U \,\forall V \, \{\phi(U, V, \lceil t/2\rceil-1) \nrightarrow \neg[(U = A \land V = R) \lor (U = R \land V = B)]\}</tex>.
Получившаяся формула верна только когда верно <tex>\phi(U, V, \lceil t/2\rceil-1)</tex> и ложно <tex>\neg[(U = A \land V = R) \lor (U = R \land V = B)]</tex>. Это равносильно тому, что <tex>V</tex> достижима из <tex>U</tex> не более, чем за <tex>\lceil 2^{t/2\rceil-1}</tex> шагов, и либо <tex>U = A \land V = R</tex>, либо <tex>U = R \land V = B</tex>. А если верно и то, и другое, то конфигурация <tex>B</tex> достижима из конфигурации <tex>A</tex> не более, чем за <tex>2^t</tex> шагов.
За один шаг рекурсии длина максимального пути между конфигурациями уменьшается в два раза. Поэтому общую длину получившейся формулы можно представить как <tex>L(t) = L(\lceil t/2\rceil-1)+const</tex>, где <tex>const = \|\exists R \,\forall U \,\forall V \, \{\| + \|\nrightarrow \neg[(U = A \land V = R) \lor (U = R \land V = B)]\}\|</tex>.
Следовательно, размер полученной функции <tex>\phi(A, B, t)</tex> полиномиален относительно <tex>t</tex>.
