68
правок
Изменения
м
Нет описания правки
Так как <tex>L \in \mathrm{PS}</tex>, то существует детерминированная машина Тьюринга <tex>M</tex>, распознающая его с использованием памяти полиномиального размера. Будем считать, что длина ленты машины <tex>M</tex> есть <tex>r(n)</tex>, где <tex>r</tex> — полином, а <tex>n</tex> — длина входа.
Пусть <tex>\Omega w = |\Sigma \cup Q|</tex>, <tex>I</tex> — конфигурация <tex>M</tex>. Конфигурация задаётся позицией и содержанием рабочей ленты. Введём обозначение <tex>x_{I,i,c}</tex> — в конфигурации <tex>I</tex> на <tex>i</tex>-том месте стоит символ <tex>c</tex>. Тогда размер конфигурации равен <tex>\Omega w r(n)</tex>. Следовательно всего конфигураций <tex>2^{\Omega w r(n)}</tex>.
Под выражением <tex>\exists I</tex> будем понимать <tex> \exists x_{I,1,c_1} \, \exists x_{I,1,c_2} \ldots \exists x_{I,1,c_\Omegac_w} \, \exists x_{I,2,c_1} \ldots</tex> Аналогично выражение <tex> \forall I</tex> обозначает <tex> \forall x_{I,1,c_1} \, \forall x_{I,1,c_2} \ldots \forall x_{I,1,c_\Omegac_w} \, \forall x_{I,2,c_1} \ldots</tex>
Рассмотрим функцию <tex>\phi(A, B, t)</tex>, проверяющую следующее условие: конфигурация <tex>B</tex> достижима из конфигурации <tex>A</tex> не более, чем за <tex>2^t</tex> шагов.
<tex>\phi(A, B, t) = \exists R \, [\phi(A, R, t-1) \land \phi(R, B, t-1)]</tex>.
Общую длину получившейся формулы можно представить как <tex>L(t) = 2 L(t-1)*2+const</tex>. Заметим, что из-за умножения на 2 на каждом шаге рекурсии <tex>L(t)</tex> будет иметь экспоненциальный размер относительно <tex>t</tex>. Нас это не устраивает, так как нам необходимо полиномиальное сведение. Поэтому воспользуемся квантором <tex>\forall</tex> и перепишем её следующим образом:
<tex>\phi(A, B, t) = \exists R \,\forall U \,\forall V \, \{\phi(U, V, t-1) \land [(U = A \land V = R) \lor (U = R \land V = B)]\}</tex>.
Теперь мы можем записать функцию <tex>f(M, w)</tex>, которая будет переводить ДМТ <tex>M</tex> и слово на ленте <tex>w</tex> в формулу из <tex>\mathrm{TQBF}</tex>.
<tex>f(M, w) = \exists S \, \exists F \, (S - start) \land (F - accept) \land \phi(S, F, log_2(2^{\Omega w r(n)})))</tex>.
Выражения <tex>S - start</tex> и <tex>F - accept</tex> можно записать следующим образом:
Докажем, что сведение <tex>f</tex> корректно.
Если <tex>w \in L</tex>, то существует путь из стартовой конфигурации в финишную, длины не более, чем <tex>2^{\Omega w r(n)}</tex>, а значит формула <tex>f(M, w)</tex> верна.
Если формула <tex>f(M, w)</tex> оказалась верна, то существует путь из стартовой конфигурации в финишную длины не более, чем <tex>2^{\Omega w r(n)}</tex>. Значит, ДМТ <tex>M</tex> допускает слово <tex>w</tex>. Тогда <tex>w \in L</tex>.
Таким образом, <tex>\mathrm{TQBF} \in \mathrm{PSH}</tex>.
