=== Теорема о предельном переходе под знаком производной ===
== Определения и факты ==
=== Список ===
* Ряды Тейлора основных элементарных функций
* Интеграл функции по параллелепипеду — обобщить на <tex>\mathbb{R}^m</tex>: [[Интеграл_Римана_по_прямоугольнику]]
* Вектор скорости
* Произведение степенных рядов
=== Ряды Тейлора основных элементарных функций ===
http://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Тейлора#.D0.A0.D1.8F.D0.B4.D1.8B_.D0.9C.D0.B0.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D1.80.D0.B5.D0.BD.D0.B0_.D0.BD.D0.B5.D0.BA.D0.BE.D1.82.D0.BE.D1.80.D1.8B.D1.85_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.B9
=== Локальный экстремум ===
{{Определение
|definition=
<math>x_0</math> называется '''точкой локального максимума''' функции <math>f,</math> если существует проколотая окрестность <math>\dot{U}(x_0)</math> такая, что: <math>\forall x\in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \le f(x_0);</math>
<math>x_0</math> называется '''точкой локального минимума''' функции <math>f,</math> если существует проколотая окрестность <math>\dot{U}(x_0)</math> такая, что: <math>\forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \ge f(x_0).</math>
Если неравенства выше строгие, то <math>x_0</math> называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.
}}
=== Точка возрастания функции ===
{{Определение
|definition=Пусть <tex>f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R},\ x_0\in(a,b)</tex>. Если <tex>\exists \delta>0:\ \forall x\in(x_0-\delta,x_0)\ f(x)\le f(x_0)</tex> и <tex>\forall x\in(x_0,x_0+\delta)\ f(x)\ge f(x_0)</tex>, то <tex>x_0</tex> называется '''точкой возрастания''' функции <tex>f</tex>.
}}
=== Стационарная точка ===
{{Определение
|definition=Пусть <tex>f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R},\ x_0\in(a,b)</tex>. Если <tex>f'(x_0)=0</tex>, то <tex>x_0</tex> называется '''стационарной точкой''' функции <tex>f</tex>. Если <tex>f'(x_0)=0</tex> или <tex>f</tex> не дифференцируема в точке <tex>x_0</tex>, то <tex>x_0</tex> называется '''критической точкой''' функции <tex>f</tex>.
}}
=== Выпуклая функция ===
{{Определение
|id=определение выпуклости
|definition=Функция <tex>f: \langle a,b\rangle \to \mathbb{R}</tex> называется:
'''выпуклой вниз''' на <tex>\langle a,b\rangle</tex>, если <tex>\forall x_1,x_2\in\langle a,b\rangle, \ t\in(0,1)</tex> выполняется неравенство
<tex>f(tx_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2)</tex>;
'''строго выпуклой вниз''' на <tex>\langle a,b\rangle</tex>, если <tex>\forall x_1,x_2\in\langle a,b\rangle \ (x_1\ne x_2), \ t\in(0,1)</tex> выполняется неравенство
<tex>f(tx_1+(1-t)x_2) < tf(x_1)+(1-t)f(x_2)</tex>.
Если выполняются противоположные неравенства, то функция <tex>f</tex> называется соответственно '''выпуклой вверх''' или '''строго выпуклой вверх''' на <tex>\langle a,b\rangle</tex>.
Часто функции, которые только что были названы выпуклыми вниз, называют просто '''выпуклыми''', а те, что были названы выпуклыми вверх, - '''вогнутыми'''.
}}
=== Выпуклое множество в R^m ===
{{Определение
|definition=Множество (на прямой, на плоскости, в трехмерном пространстве) называется '''выпуклым''', если вместе в с любыми своими двумя точками оно содержит весь отрезок, их соединяющий.
}}
=== Надграфик и подграфик ===
==== Надграфик ====
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R}</tex>. Множество <tex>\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x\in\langle a,b\rangle, y\ge f(x)\}</tex> называется '''надграфиком''' функции <tex>f</tex>.
}}
==== Подграфик ====
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:[a,b]\to\mathbb{R},f\ge0</tex>. Множество
<tex>Q_f=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x\in[a,b],0\le y\le f(x)\}</tex>
называется '''подграфиком''' функции <tex>f</tex>.
}}
=== Опорная прямая ===
{{Определение
|id=определение опорной прямой
|definition=Пусть <tex>f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R},\ x_0\in\langle a,b\rangle</tex>. Прямая, задаваемая уравнением <tex>y = \ell(x)</tex>, называется '''опорной''' для функции <tex>f</tex> в точке <tex>x_0</tex>, если
<tex>\forall x\in \langle a,b\rangle \ f(x_0)=\ell(x_0),\ f(x)\ge\ell(x)</tex>.
Если же
<tex>\forall x\in \langle a,b\rangle\backslash\{x_0\} \ f(x_0)=\ell(x_0),\ f(x)>\ell(x)</tex>,
то прямая называется '''строго опорной''' для функции <tex>f</tex> в точке <tex>x_0</tex>.
}}
=== Первообразная ===
{{Определение
|id=определение первообразной
|definition=Пусть <tex>f, F:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R}</tex>. Функция <tex>F</tex> называется '''первообразной''' функции <tex>f</tex> на <tex>\langle a,b\rangle</tex>, если
<tex>\forall x\in\langle a,b\rangle\ F'(x)=f(x)</tex>.
}}
=== Таблица первообразных ===
1. <tex>\int0dx=C</tex>
2. <tex>\int x^\alpha dx={x^{\alpha+1}\over\alpha+1}+C,\ \alpha\ne-1</tex>
3. <tex>\int {dx\over x}=ln\vert x\vert+C</tex>
4. <tex>\int a^x dx={a^x\over \ln a}+C</tex>
5. <tex>\int \sin x dx=-\cos x+C</tex>
6. <tex>\int \cos x dx=\sin x+C</tex>
7. <tex>\int {dx\over \cos ^2 x}=\tan x+C</tex>
8. <tex>\int {dx\over \sin ^2x}=-\cot x+C</tex>
9. <tex>\int{dx\over\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C</tex>
10. <tex>\int{dx\over 1+x^2}=\arctan x+C</tex>
11. <tex>\int{dx\over\sqrt{x^2\pm1}}=\ln\vert x+\sqrt{x^2\pm1}\vert+C</tex>
12. <tex>\int{dx\over1-x^2}={1\over2}\ln\left\vert{1+x\over1-x}\right\vert+C</tex>
=== Дробление отрезка ===
{{Определение
|id=определение дробления
|definition=Пусть <tex>[a,b]</tex> - невырожденный отрезок. Набор точек
<tex>\tau = \{x_k\}^n_{k=0}:\ a=x_0<x_1<...<x_n=b</tex>
называется '''дроблением''' отрезка <tex>[a,b]</tex>. Отрезки <tex>[x_k,x_{k+1}\ (k\in[0:n-1])</tex> называют '''отрезками дробления''', через <tex>\Delta x_k</tex> обозначается длина <tex>k</tex>-го отрезка дробления. Величина
<tex>\lambda = \lambda_\tau=\underset{0\le k\le n-1}{max}\Delta x_k</tex>
называется '''рангом''' или '''мелкостью''' дробления <tex>\tau</tex>. Набор точек <tex>\xi=\{\xi_k\}^{n-1}_{k=0}</tex>, таких что <tex>\xi_k\in[x_k,x_{k+1}]\ \forall k\in[0:n-1]</tex>, называется '''оснащением''' дробления. Дробление вместе с его оснащением, то есть пара <tex>(\tau, \xi)</tex>, называется '''оснащенным дроблением'''.
}}
=== Дробление параллелепипеда ===
{{Определение
|definition=
Пусть параллелепипед задан двумя точками <tex>a,b\in\mathbb{R}^m</tex>. '''Дроблением параллелепипеда''' называется множество дроблений <tex>\lambda_1,...,\lambda_m</tex>, где <tex>\lambda_i</tex> - дробление отрезка <tex>[a_i, b_i]</tex>.
}}
=== Что значит, что одно дробление мельче другого ===
//для отрезка
{{Определение
|definition=
Дробление <tex>a</tex> мельче дробления <tex>b</tex>, если набор точек дробления <tex>a</tex> содержится в наборе этих точек для <tex>b</tex>.
}}
//для параллелепипеда
{{Определение
|definition=
Дробление мельче, если для всех дроблений из <tex>\lambda</tex> верно, что дробление из одного мельче дробления из другого.
}}
//Копипаста http://vk.com/topic-29253653_26076730?post=1937
=== Сумма Дарбу ===
{{Определение
|id=определение сумм Дарбу
|definition=Пусть <tex>f: [a,b]\to\mathbb{R},\ \tau=\{x_k\}^n_{k=0}</tex> - дробление <tex>[a,b]</tex>,
<tex>M_k=\underset{x\in[x_k,x_{k+1}]}{\sup}f(x),\ m_k=\underset{x\in[x_k,x_{k+1}]}{\inf}f(x),\ k\in[0:n-1]</tex>.
Суммы
<tex>S=S_\tau(f)=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}M_k\Delta x_k</tex> и <tex>s=s_\tau(f)=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}m_k\Delta x_k</tex>
называются '''верхней и нижней интегральными суммами''' или '''суммами Дарбу''' функции <tex>f</tex>, отвечающими дроблению <tex>\tau</tex>.
}}
=== Верхний интеграл Дарбу ===
{{Определение
|id=определение интеграла Дарбу
|definition=Пусть <tex>f:[a,b]\to\mathbb{R}</tex>. Величины
<tex>I^*=\underset{\tau}{\inf}S_\tau</tex>, и <tex>I_*=\underset{\tau}{\sup}s_\tau</tex>
называются '''верхним и нижним интегралами Дарбу''' функции <tex>f</tex>.
}}
=== Интегрируемая по Риману функция ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:[a,b]\to\mathbb{R}</tex>. Число <tex> I </tex> называют '''пределом интегральных сумм''' при ранге дробления, стремящемся к нулю, если для любого положительного числа <tex> \varepsilon </tex> существует такое положительное число <tex> \delta </tex>, что для любого оснащения дробления <tex> ( \tau, \xi ) </tex>, ранг которого меньше <tex> \delta </tex>, интегральная сумма отличается от числа <tex> I </tex> меньше чем на <tex> \varepsilon </tex>.
}}
{{Определение
|id=определение интегрируемой по Риману функции
|definition=Пусть <tex>f:[a,b]\to\mathbb{R}</tex>. Если существует предел интегральных сумм <tex>\underset{\lambda\to0}{\lim}\sigma</tex>, равный числу <tex>I</tex>, то функция <tex>f</tex> называется '''интегрируемой по Риману''' на <tex>[a,b]</tex>, а число <tex>I</tex> - '''интегралом (определенным интегралом, интегралом Римана)''' от функции <tex>f</tex> по отрезку <tex>[a,b]</tex> и обозначается <tex>\int^b_af</tex>.
}}
=== Интеграл функции по параллелепипеду ===
=== Риманова сумма ===
{{Определение
|id=определение сумм Римана
|definition=Пусть <tex>f:[a,b]\to\mathbb{R}</tex>. Суммы
<tex>\sigma=\sigma_\tau(f,\xi)=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}f(\xi_k)\Delta x_k</tex>
называются '''интегральными суммами''' или '''суммами Римана''' функции <tex>f</tex>, отвечающими оснащенному дроблению <tex>(\tau,\xi)</tex>.
}}
=== Колебание функции на множестве ===
{{Определение
|id=определение колебания функции на множестве
|definition=Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}</tex>. Величина
<tex>\omega(f)_D=\underset{x,y\in D}{\sup}(f(x)-f(y))</tex>
называется '''колебанием''' функции <tex>f</tex> на множестве <tex>D</tex>.
}}
=== Множество объема 0 ===
{{Определение
|definition=
Множество <tex>A\subset\mathbb{R}^n</tex> имеет объём 0, если <tex>\forall\varepsilon>0\ \exists</tex> покрытие множества <tex>A</tex> брусами <tex>B_1,...,B_k:\underset{i=1}{\overset{k}{\sum}} V(B_i)<\varepsilon</tex>.
}}
=== Множество меры 0 ===
{{Определение
|definition=
Говорят, что множество <tex>E\subset\mathbb{R}</tex> имеет '''нулевую меру''', если <tex>\forall\varepsilon>0</tex> множество <tex>E</tex> можно заключить в не более чем счетное объединение интервалов, суммарная длина которых меньше <tex>\varepsilon</tex>.
}}
=== Интеграл с переменным верхним пределом ===
{{Определение
|definition=Пусть <tex>E\subset\mathbb{R}</tex> - невырожденный промежуток <tex>f:E\to\mathbb{R},\ f</tex> интегрируема на каждом отрезке, содержащемся в <tex>E,\ a\in E</tex>. Функция
<tex>\Phi(x)=\int_a^xf,\ x\in E</tex>
называется '''интегралом с переменным верхним пределом'''.
}}
=== Кусочно-непрерывная функция ===
{{Определение
|definition=Функция <tex>f:[a,b]\to\mathbb{R}</tex> называется '''кусочно-непрерывной''' на <tex>[a,b]</tex>, если множество ее точек разрыва пусто или конечно, и все имеющиеся разрывы - первого рода.
}}
=== Почти первообразная ===
{{Определение
|id=определение почти первообразной
|definition=Пусть <tex>f, F:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R}</tex>. Функция <tex>F</tex> называется '''почти первообразной''' функции <tex>f</tex> на <tex>\langle a,b\rangle</tex>, если
<tex>F'(x)=f(x)</tex> во всех, кроме конечного множества, точках промежутка <tex>\langle a, b\rangle</tex>.
}}
=== Несобственный интеграл ===
{{Определение
|definition=
Функция <tex> f </tex> называется '''локально интегрируемой''' (по Риману) на промежутке <tex> E </tex>, если <tex> f </tex> интегрируема (по Риману) на каждом отрезке, содержащемся в <tex> E </tex>. Множество функций, локально интегрируемых на <tex> E </tex>, обозначается через <tex> R_{loc}(E) </tex>.
}}
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>-\infty<a<b\le+\infty,\ f\in R_{loc}[a,b)</tex>. Символ <tex>\int_a^{\to b}f</tex> называется '''несобственным интегралом'''. Интегралы <tex>\int_a^Af</tex> при <tex>A\in[a,b)</tex> называются '''частными''' или '''частичными'''. Если <tex>\exists \underset{A\to b-}{\lim}\int_a^Af</tex> в <tex>\overline{\mathbb{R}}</tex>, равный <tex>I</tex>, то символу <tex>\int_a^{\to b}f</tex> приписывают значение <tex>I</tex>. В противном случае символу <tex>\int_a^{\to b}f</tex> не приписывают никакого значения. Если <tex>I \in \mathbb{R}</tex>, то говорят, что несобственный интеграл '''сходится'''; в противном случае говорят, что он '''расходится'''.
}}
=== Абсолютно сходящийся интеграл ===
{{Определение
|definition=
Интеграл <tex>\int_a^{\to b}f</tex> называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл <tex>\int_a^{\to b}|f|</tex>.
}}
=== Аддитивная функция промежутка ===
{{Определение
|definition=
Пусть дан отрезок <tex>[A, B]</tex>. Обозначим <tex>\psi = \{[\alpha, \beta] \subset [A, B]\}</tex>.
<tex>T: \psi \to \mathbb{R}</tex> называют функцией промежутка. Она будет аддитивной, если <tex>T[\alpha, \beta] + T[\beta, \gamma] = T[\alpha, \gamma]</tex>
}}
=== Плотность аддитивной функции промежутка ===
{{Определение
|definition=
<tex>T: \psi \to \mathbb{R}</tex> {{---}} аддитивная функция промежутка. Пусть <tex>c \in [\alpha, \beta]</tex>. Тогда плотностью называется величина <tex>p(c) = \underset{\alpha - \beta \to 0}{\lim}{T[\alpha, \beta]\over {\beta - \alpha}}</tex>.
}}
=== Площадь ===
{{Определение
|definition=
'''Площадью''' называется функционал <tex> S: \{ P \} \to [0, + \infty ) </tex>, заданный на некотором классе <tex> \{ P \} </tex> подмножеств плоскости, называемых ''квадрируемыми фигурами'', и обладающий следующими тремя свойствами:
1. ''Аддитивность''. Если <tex> P_1 </tex> и <tex> P_2 </tex> — квадрируемые фигуры, причём <tex> P_1 \cap P_2 = \varnothing </tex>, то <tex> P_1 \cup P_2 </tex> — квадрируемая фигура и <tex> S(P_1 \cup P_2) = S(P_1) + S(P_2) </tex>.
2. ''Нормированность на прямоугольниках''. Площадь прямоугольника со сторонами <tex> a </tex> и <tex> b </tex> равна <tex> ab </tex>.
3. ''Инвариантность относительно движений''. Если <tex> P </tex> — квадрируемая фигура, <tex> U </tex> — движение плоскости (то есть отображение <tex> \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n </tex>, сохраняющее расстояние между точками), то <tex> U(P) </tex> — квадрируемая фигура и <tex> S(U(P)) = S(P) </tex>.
}}
=== Длина пути ===
{{Определение
|definition=
'''Путём''' в <tex> \mathbb{R}^n </tex> называется непрерывное отображение отрезка в <tex> \mathbb{R}^n </tex>:
<tex> \gamma = (\gamma_1, ..., \gamma_m):[a, b] \to \mathbb{R}^m </tex>.
Точка <tex> \gamma(a) </tex> называется '''началом''', <tex> \gamma(b) </tex> — '''концом''' пути. Множество
<tex> \gamma^* = \gamma([a, b]) </tex>,
то есть образ отрезка <tex> [a, b] </tex>, называется '''носителем''' пути.
}}
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> \gamma </tex> — путь в <tex> \mathbb{R}^n </tex>. Величина <tex> s_{\gamma} = \underset{\tau}{\sup}(\ell_{\tau}) </tex> называется '''длиной пути''' <tex> \gamma </tex>.
}}
=== Вектор скорости ===
=== Сумма ряда ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\{a_k\}_{k=1}^\infty</tex> - вещественная или комплексная последовательность. Символ <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k = a_1+a_2+a_3+...</tex> называется '''числовым рядом''', а числа <tex>a_k</tex> - его членами.
Если последовательность <tex>\{S_n\}_{n=1}^\infty</tex> имеет предел <tex>S</tex>, то <tex>S</tex> называют '''суммой ряда'''.
}}
=== Сходящийся ряд, расходящийся ряд ===
{{Определение
|definition=
Если последовательность <tex>\{S_n\}_{n=1}^\infty</tex> сходится, то говорят, что ряд '''сходится''', в противном случае говорят, что он '''расходится'''.
}}
=== Остаток сходящегося ряда ===
{{Определение
|definition=
Ряд <tex>\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> называется '''остатком''' ряда <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> после <tex>m</tex>-го члена.
}}
=== Абсолютно сходящийся ряд ===
{{Определение
|definition=
Говорят, что ряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> '''''сходится абсолютно''''', если сходится ряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}|a_k|</tex>.
}}
=== Преобразование Абеля ===
{{Лемма
|about=Преобразование Абеля
|statement=
Пусть <tex>\{a_k\},\{b_k\}</tex> - числовые посл-ти, <tex>A_0\in\mathbb{R}, A_k=\sum_{j=1}^k a_j+A_0</tex> при <tex>k\in\mathbb{N}</tex>. Тогда <tex>\forall n\in\mathbb{N}</tex>
<tex>\sum_{k=1}^n a_kb_k=A_nb_n-A_0b_1+\sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1}).</tex>
|proof=
<tex>\sum_{k=1}^n a_kb_k=\sum_{k=1}^n(A_k-A_{k-1})b_k=\sum_{k=1}^nA_kb_k-\sum_{k=1}^nA_{k-1}b_k=\sum_{k=1}^nA_kb_k-\sum_{k=0}^{n-1}A_kb_{k+1}=A_nb_n-A_0b_1+\sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1}).</tex>
}}
Преобразование Абеля — дискретный аналог интегрирования по частям <tex>\int_1^nfg=F(n)g(n)-F(1)g(1)-\int_1^nFg'</tex>
=== Перестановка ряда ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}</tex> — биекция (перестановка натурального ряда). Тогда говорят, что ряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_{\varphi(k)}</tex> получен из ряда <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> перестановкой членов или является перестановкой ряда <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex>.
}}
=== Произведение рядов ===
{{Определение
|definition=
Пусть даны ряды <tex>\underset{k=0}{\overset{\infty}{\sum}}a_k</tex> и <tex>\underset{k=0}{\overset{\infty}{\sum}}b_k</tex>. Их произведением называют ряд <tex>\underset{k=0}{\overset{\infty}{\sum}}a_k b_k</tex>
}}
=== Произведение степенных рядов ===
=== Поточечная сходимость функционального ряда ===
{{Определение
|definition=
<tex>\{u_k(x)\}^{\infty}_{k=1} : E \to \mathbb{C}</tex>
Ряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}u_k(x)</tex> сходится поточечно к <tex>u(x)</tex>, если <tex>\forall{x} \in E \hspace{1mm} \exists \underset{n \to \infty}{\lim} \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}u_k(x) = u(x)</tex>
}}
=== Равномерная сходимость функционального ряда ===
{{Определение
|definition=
<tex>\{u_k(x)\}^{\infty}_{k=1} : E \to \mathbb{C}</tex>.
Ряд <tex>\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}u_k(x)</tex> сходится равномерно к <tex>u(x)</tex>, если <tex>\underset{x \in E}{\sup}{|u_k(x) - u(x)|} \underset{k\to\infty}{\to} 0</tex>
}}
=== Метрика в пространстве непрерывных ограниченных функций ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>F(X,\;Y)</tex> — пространство непрерывных и ограниченных отображений из <tex>X</tex> в метрическое пространство <tex>Y</tex>. Расстояние между двумя отображениями <tex>f_1</tex> и <tex>f_2</tex> из этого пространства определяется как <tex>d_F(f_1,\;f_2)=\sup\{d_Y(f_1(x),\;f_2(x))\colon x\in X\}.</tex>
}}
