Изменения

*В обратную сторону докажем по индукции(будем добавлять какую-нибудь вершину <tex>x</tex> из <tex>L</tex> в <tex>LG'</tex> и доказывать что в <tex>LG'</tex> есть паросочетание, насыщающее все вершины из <tex>L'</tex>). Таким образом, в конце получим что <tex>G'</tex> совпадает с <tex>G</tex>. Из этого будет следовать существование в <tex>G</tex> полного паросочетания.#База: Одна вершина соединена хотя бы с одной вершиной из <tex>R'</tex>. Следовательно база верна.#Переход: Пусть после <tex>k</tex> добавлений в <tex>G'</tex> можно построить паросочетание <tex>P</tex>, насыщающее все вершины из <tex>L'</tex>. Докажем что после добавления вершины <tex>x</tex> в <tex>G'</tex> будет существовать паросочетание насыщающее все вершины <tex>L'</tex>.Добавим <tex>x</tex> в <tex>G'</tex>. Рассмотрим множество вершин <tex>H</tex> - все вершины достижимые из <tex>x</tex>, если можно ходить из <tex>R'</tex> в <tex>L'</tex> только по ребрам из <tex>P</tex>, а из <tex>L'</tex> в <tex>R'</tex> по любым ребрам из <tex>G'</tex>. Тогда в H найдется вершина <tex>y </tex> из <tex>R'</tex>, не принадлежащая P, иначе, если рассмотреть вершины <tex>H_L</tex>(вершины из <tex>H</tex> принадлежащие <tex>L'</tex>), то для них не будет выполненj <tex>|H_L| > |N(H_L)|</tex>.Тогда существует путь из <tex>x</tex> в <tex>y</tex> , который будет удлиняющим для паросочетания <tex>P</tex>(т.к из <tex>R'</tex> в <tex>L'</tex> мы проходили по ребрам паросочетания <tex>P</tex>). Увеличив паросочетание P вдоль этого пути получаем искомое паросочетание. Следовательно предположение индукции верно.