26
правок
Изменения
м
TODO: какая-то хурма в конспекте((([[Приближение_непрерывной_функции_полиномами_на_отрезке]]
Нет описания правки
}}
Заметим, что любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, задав метрику как $\rho(x, y) = \| x - y \|$. Заметим, что обратное неверно: например, хоть и $\mathbb{R}^{\infty}$ c $\rho(x, y) = \sum 2^{-k} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}$ можно наделить линейной сткуртуройструктурой, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой.
Смысл нормы в ЛП состоит в том, чтобы линейные операции относительно нормы стали непрерывными: TODO что-то не особенно понял, к чему тут это
* $X = \mathbb{R}^n, \| \overline x \| = \sqrt {\sum_{k = 1}^{n} x_k^2}$
* $X = C[a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, $\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|$
* $X = L_p$ — пространство TODO пшшшфункций, интегрируемых на множестве <tex> E </tex> с <tex> p </tex> степенью ,$\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}$. В таком пространстве отождествленны функции, заметим, что здесь надо отождествить почти везде совпадающие функцииразличающиеся на множестве меры ноль, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы.
{{Определение
}}
Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: $x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x$. TODOНесложно показать, что из взаимной ограниченности норм следует равносходимость. В обратную сторону: в одну сторону равносильность определений вроде очевидна, а в другую не очень???.
{{Теорема
Рассмотрим на нем функцию $f : S_2 \to \mathbb{R}$, $f(x) = \|x\| = \| \sum \alpha_i e_i \|$. Покажем, что она непрерывна: $|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \| \le M \sqrt{\sum (\Delta \alpha_k )^2}$, то есть при стремлении $\Delta \alpha_k $ к $0$, расстояние между $f(\overline \alpha)$ и $f(\overline \alpha + \Delta \overline \alpha)$ также стремится к нулю, что означает непрерывность.
Так как $f$ непрерывна на $S_2$, то по [[Предел_отображения_в_метрическом_пространстве#Равномерно непрерывные отображения|теореме Вейерштрасса]] она принимает минимум на этом компакте, равный $m$ (пусть он достигается в точке $\overline \alpha^*$). Также $f$ не может быть нулем на $S_2$: пусть для какого-то $x \in S_2$ это так, тогда тогда $\|x\| = 0 \Rightarrow \| \sum \alpha_k e_k \| = 0 \Rightarrow \alpha_k e_k = 0 \Rightarrow \forall k: \alpha_k = 0 \Rightarrow \|x\|_2 = 0$, что означает, что $x \notin S_2$, то есть $m > 0$.
Теперь рассмотрим произвольный ненулевой $x \in \mathbb{R}^n$, тогда точка $x' = {x \over \|x\|_2}$ также принадлежит $\mathbb{R}^n$ по линейности пространства, и в частности, принадлежит $S_2$. Рассмотрим $x'$: $ f(x') = \|x'\| = \| {x \over {\| x \|_2}} \| = {{\| x \|} \over {\| x \|_2}} \ge m$, то есть $m \| x \|_2 \le \|x\|$.
TODO: в конспекте мутно, но, видимо, для любой функции $f$ в $C[0; 1]$ можно подобрать последовательность полиномов, равномерно сходящуюся к $f$ на $[0; 1]$
|proof=
}}
Ссылочки:
