262
правки
Изменения
Нет описания правки
следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму X. Если Х = 1, то менять точно выгодно. если Х другой, то в чужом конверте равновероятно может находиться <tex> 2X </tex> или <tex> X \over 2</tex>. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет <tex> \tfrac{(2X + \tfrac{X}{2})}{2} = \tfrac{5}{4} X </tex>, т.е. больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?
В данном рассуждении ошибка кроется в предположении о том, что в другом конверте может ''равновероятно'' находится <tex> 2X </tex> или <tex> X \over 2</tex>. В действительности этого не может быть.
Предположим от противного, что существует вероятностное распределение <tex>p(x)</tex>, определенное на степенях двойки так, что <tex>p(2^{x_1})</tex> - вероятность того, что в конвертах будут записаны <tex>2^{x_1}</tex> и <tex>2^{x_1 + 1}</tex>, причем значения этой функции на соседних степенях равны.
А в равенстве <tex> \infty = \infty \cdot \left ( \frac{1 + 4q}{2 + 2q} \right ) </tex> ошибки нет.
== Парадокс Монти Холла ==
=== Формулировка ===
Допустим, вы участвуете в игре. Перед вами три двери, за одной из них - автомобиль, за двумя другими - козы. Вы выбираете одну из трёх дверей и указываете на неё. Ведущий, который знает, за какой дверью машина, открывает одну из двух оставшихся дверей, за которой коза. После этого он предлагает вам выбрать одно из двух: выбрать другую дверь, или не менять свой выбор. Увеличатся ли шансы выиграть авто, если вы выберете другую дверь?
=== Решение ===
После того, как ведущий открыл одну из дверей с козой, автомобиль может быть либо за выбранной первоначально дверью, либо за оставшейся. С житейской точки зрения, вероятность выигрыша не зависит от первоначального выбора, при любом поведении одинакова и равна 0,5. Однако, такой ход рассуждений неверен.
Предположим, что мы выбрали дверь №1.
Пусть событие A - автомобиль за дверью №2. B - автомобиль за дверью №3.
<tex>P(A) =\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}; P(B) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{3}</tex>, где <tex>\frac{1}{2}</tex> - условная вероятность нахождения автомобиля именно за данной дверью при условии, что автомобиль не за дверью, выбранной игроком.
Ведущий, открывая одну из оставшихся дверей, всегда проигрышную, сообщает тем самым игроку ровно 1 бит информации и меняет условные вероятности для B и C соответственно на "1" и "0".
В результате выражения принимают вид: <tex>P(A) = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}</tex>; <tex>P(B) = \frac{2}{3} \cdot 0 =0; </tex>
Таким образом, мы видим, что при любом первоначальном выборе, вероятность выиграть, если не менять решения - <tex>\frac{1}{3} </tex>, а если поменять - <tex>\frac{2}{3} </tex>, что противоречит интуитивному пониманию данного вопроса.
Другими словами, если игрок не меняет решения, то он проиграет в том и только в том случае, если первоначально выбрал дверь за которой автомобиль, а вероятность выбрать автомобиль первоначально составляет <tex>\frac{1}{3} </tex>.
{|
|style = "width=50%;"|
{|
| style=" align = "left"; background-color: white;"|
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
! ''За выбранной дверью'' || ''Решение'' || ''Результат''
|-
| Автомобиль || Оставить || style="background-color: #CCFF99;" | Выигрыш
|-
| Коза || Оставить || style="background-color: #FFCCCC;" | Проигрыш
|-
| Коза || Оставить || style="background-color: #FFCCCC;" | Проигрыш
|-
| Автомобиль || Поменять || style="background-color: #FFCCCC;" | Проигрыш
|-
| Коза || Поменять || style="background-color: #CCFF99;" | Выигрыш
|-
| Коза || Поменять || style="background-color: #CCFF99;" | Выигрыш
|}
| style="width: 20%; align = left; background-color: white;"|
[[Файл:Monty Hall.png|200px|thumb|right|Разбор парадокса]]
|}
== Санкт-Петербургский парадокс ==
Иллюстрирует расхождение мат. ожидания выигрыша и его житейской оценки.
=== Формулировка ===
Игроку в казино предлагают сыграть в игру, состоящую в следующем: после уплаты определённого вступительного взноса за участие в игре, игрок подбрасывает честную монету пока у него не выпадет орёл. Если у него выпал орёл с первой попытки, ему выплачивают рубль. Если со второй - два рубля. С третьей - 4, и так далее. После получения денег - игра закончена.
Нужно определить, какого размера вступительный взнос должно просить казино, чтобы не остаться в убытке.
=== Разбор ===
Согласно некоторым статистическим данным, игрок готов заплатить за участие в такой игре 10-20, редко 50 рублей, что нелогично с математической точки зрения, ведь мат. ожидание выигрыша в такой ситуации равно бесконечности. Докажем это:
Рассмотрим величину <tex> E_{n} </tex> - мат. ожидание выигрыша с n-й попытки:<br>
<tex> E_{1} = 1 \cdot \frac{1}{2} = 0,5</tex>;<br>
<tex> E_{2} = 2 \cdot \frac{1}{4} = 0,5</tex>;<br>
...<br>
<tex> E_{n} = \frac{2^{n-1}}{2^n} = 0,5</tex>;<br>
Согласно линейности мат. ожидания, мат. ожидание выигрыша в этом случае равно <tex>E_{1}+E_{1}+... = 0,5+0,5+0,5 = \infty </tex><br>
Данный парадокс до сих пор не имеет математически полного решения. Нетрудно заметить, что задача легко решается если наложить ограничения на количество игр и предельно малую вероятность, которую можно считать ненулевой.
Вероятность того, что в определённой игре количество бросков превысит ''n'', равна <tex>\frac{1}{2^{n}}</tex>. Пусть игрок может сыграть не более ''k'' игр. Тогда вероятность того, что количество бросков хотя бы в одной игре превысит ''n'', равна <tex>1-(1-\frac{1}{2^{n}})^{k}</tex>.<br>
Известно, что <tex>\lim_{n\rightarrow\infty}1-(1-\frac{1}{2^{n}})^{k} = \frac{k}{2^{n}}</tex> (теорема Бернулли).
Пусть ''p'' - предельная ненулевая вероятность. Тогда «реальное» количество бросков не превышает log<sub>2</sub>(''k''/''p''). При таком допущении средний выигрыш за одну игру приближёно равен:
<math>1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4}+...+2^{n} \cdot \frac{1}{2^{n+1}}=\frac{n}{2},</math> где <math>n=\log_2 \frac{k}{p}.</math>
Таким образом, средний выигрыш равен <math>\frac{1}{2} \log_2 \frac{k}{p}.</math>
== Ссылки ==
[http://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_о_двух_конвертах Википедия: Парадокс двух конвертов]
[http://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_Монти_Холла Википедия: Парадокс Монти Холла]
[http://ru.wikipedia.org/wiki/Санкт-Петербургский_парадокс Википедия: Санкт-Петербургский парадокс]
[http://sinset.com/ru/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2 Очень подробная статья про парадокс двух конвертов]
[http://sergey-a.ru/paradox/Untitled-2.html Визуализатор парадокса Монти Холла]
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория вероятности ]]
