1302
правки
Изменения
Нет описания правки
Заметим: <tex> \forall \alpha \in \mathbb{R} ~ 0 \cdot \alpha = 0</tex>. По линейности <tex>f(\alpha \cdot 0) = \alpha f(0)</tex>, следовательно, <tex>f(0) = 0</tex>.
<tex> \mathrm{Ker}\, f </tex> — линейное подмножество <tex>X</tex> {{TODO: | t = возможно, нужно доказательство}}
Выясним геометрическую структуру ядра.
|id=codimdef
|definition=
<tex>\mathrm{Codim}\, Y \stackrel{\mathrm{def}}{=} \dim X /_Y </tex> — '''коразмерность''' <tex>Y</tex>. <tex> Y </tex> — '''гиперплоскость''' в <tex>X</tex>, если <tex>\mathrm{Codim}\, Y = 1</tex>. }} Что означает коразмерность на языке исходных линейных операций? {{Утверждение|statement= <tex>\mathrm{Codim}\, Y = n \iff \exists\, e_1, \ldots, e_n \in X </tex> такие, что <tex>\forall x \in X</tex> представляется единственным образом: <tex> x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k + y, ~ y \in Y</tex>. |proof= '''Замечание''': для <tex>n = 1</tex>: если <tex>\mathrm{Codim}\, Y = 1 \iff \exists\, e \in X </tex> такое, что <tex>\forall x \in X</tex> представляется единственным образом: <tex> x = \alpha e + y, ~ y \in Y</tex>. Доказательство <tex>\implies</tex>: <tex>\mathrm{Codim}\, Y = n \implies \dim X /_Y = n \implies \exists \xi_1 \ldots \xi_n \in X /_Y </tex> — базис <tex> X /_Y </tex>.<tex> \forall \xi \in X /_Y </tex> единственным образом <tex>\xi = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k </tex>. Рассмотрим <tex> \forall x \in X </tex>, <tex> [x] \in X /_Y </tex> и его представление <tex> [x] = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k </tex>. Пусть <tex> \xi_k = [ e_k ] </tex>, то есть <tex> [ x ] = \left [ \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k \right ] </tex>. Следовательно, по определению <tex> [ x ] </tex>, <tex> x \sim \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k </tex>. <tex> \implies x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k = y \in Y \implies x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k + y </tex> — разложение <tex> x </tex>. Единственность следует из единственности разложения по базису <tex> [x] = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k </tex>. Доказательство <tex> \Longleftarrow </tex>: {{TODO | t = упражнение}}
}}
