1302
правки
Изменения
→Непрерывность функционала
|definition=
<tex> f </tex> — '''ограниченный''' функционал, если <tex> \| f \| < \infty </tex>.
}}
Отметим, что для ограниченного функционала: <tex> \forall x \in X, x \not = 0</tex>
<tex> \frac {x} {\| x \| } \in \overline{V}_1 \implies
\left | f \left ( \frac {x} {\| x \|} \right ) \right | \leq \| f \| \implies
f \left ( \frac {x} {\| x \|}\right ) = \frac 1 {\| x \|} f(x) \implies
\\
| f(x) | \leq \| f \| \cdot \| x \| </tex>
{{Утверждение
|id=cont-finite
|statement= <tex>f</tex> — непрерывен <tex> \iff </tex> <tex>f</tex> — ограничен.
|proof=
1) <tex>f</tex> — ограничен <tex> \implies \| f \| < \infty </tex>. Как отмечалось ранее: <tex> | f(x) | \leq \| f \| \cdot \| x \| </tex>
Рассмотрим <tex> x_n \to 0 \implies
\| x_n \| \to 0 \implies
| f(x) | \leq \| f \| \cdot \| x_n \| \implies
f(x_n) \to 0 \implies f</tex> — непрерывен.
2) <tex>f</tex> — непрерывен. Пусть <tex> \| f \| = \infty </tex>, тогда по определению <tex> \| f \| </tex>:
<tex> \forall n \in \mathbb{N} ~ \exists\, x_n \in \overline{V}_1 : | f (x_n) | > n \implies </tex>
по линейности <tex> \left| f \left( \frac {x_n}{n} \right) \right| > 1 </tex>.
<tex> \left\| \frac{x_n}{n} \right\| = \frac1n \| x_n \| </tex>,
так как <tex> x_n \in \overline{V}_1 \implies
\frac1n \| x_n \| \leq \frac1n</tex>
<tex> n \to \infty, \quad \frac1n \to 0,
\quad \left \| \frac {x_n}{n} \right \| \to 0 \implies
\frac{x_n}{n} \to 0 \implies </tex>
по непрерывности <tex> f \left ( \frac {x_n}{n} \right ) \to 0 </tex> противоречие.
}}
