26
правок
Изменения
Нет описания правки
<tex> (I - C)S_n = I - C^{n + 1} </tex>. Устремляя <tex> n </tex> к бесконечности, получаем <tex> (I - C)S = I </tex>, а значит <tex> S = \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k = (I - C)^{-1} </tex> {{---}} ограниченный оператор.
}}
Трактовка этой теоремы: <tex> Ix = x </tex>, <tex> I </tex> {{---}} непрерывно обратимый оператор. При каких условиях на оператор <tex> C </tex> оператор <tex> I - C </tex> сохраняет ннепрерывную обратимость? Из теоремы выше известен ответ на этот вопрос: когда <tex> \| C \| < 1 </tex>, то есть "при малых возмущениях <tex> I </tex> сохраняется его непрерывная обратимость".
Далее считаем, что пространства <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> {{---}} всегда банаховы.
{{Определение
|definition=
Рассмотрим уравнение <tex> Ax = y </tex> при заданном <tex> y </tex>. Если для такого уравнения можно написать <tex> \| x \| \le \alpha \| y \| </tex>, где <tex> \alpha </tex> {{---}} константа, то говорят, что это уравнение '''допускает априорную оценку решений'''.
{{TODO|t=Это для всех y сразу, или для каждого y своя константа?}}
}}
<tex> R(A) = \{ Ax \mid x \in X \} </tex> {{---}} область значений оператора <tex> A </tex>, является линейным множеством, но может быть незамкнутым. Однако, верно следующее:
{{Утверждение
|statement=
Если <tex> A </tex> непрерывен, и уравнение <tex> Ax = y </tex> допускает априорную оценку решений, то <tex> R(A) = \mathrm{Cl} R(A) </tex>.
|proof=
Возьмем сходящуюся последовательсть <tex> y_n \in R(A), y_n \to y </tex>. Нужно проверить, правда ли <tex> y \in R(A) </tex>, или, что то же самое, что уравнение <tex> Ax = y </tex> имеет решение для такого <tex> y </tex>.
<tex> y_n \to y \implies \| y_n - y_m \| \to 0 </tex>. Можно выбрать такую подпоследовательность <tex> y_n </tex>, что для этой подпоследовательности после перенумерации будет выполняться <tex> \| y_n - y_{n+1} \| < \frac 1{2^n} </tex>.
По линейности <tex> R(A) </tex>: <tex> y_{n+1} - y_n \in R(A) </tex> и для любого <tex> n </tex> существует <tex> x_n: A x_n = y_{n+1} - y_n </tex>.
Поскольку уравнение <tex> Ax = y </tex> допускает априорную оценку решений, имеем <tex> \| x_n \| \le \alpha \| y_{n+1} - y_n \| </tex>.
Рассмотрим следующий ряд: <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n </tex>. Сумма ряда из норм: <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} \| x_n \| \le \alpha \sum\limits_{n=1}^{\infty} \| y_{n+1} - y_n \| \le \alpha \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac 1{2^n} = \alpha </tex>. По банаховости <tex> X </tex> получаем, что <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n </tex> сходится, и <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n = x </tex>.
По непрерывности <tex> A </tex> получаем, что <tex> Ax = A \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} A x_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} y_{n+1} - y_n = y - y_1 </tex>.
<tex> Ax = y - y_1, y = Ax + y_1 = Ax + A x_0 = A(x + x_0) </tex>, поэтому <tex> y \in R(A) </tex>.
}}
