26
правок
Изменения
Нет описания правки
Так как <tex> \| C \| < 1 </tex>, то существует такой <tex> S \in \mathbb{L}(X) </tex>, что <tex> S = \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k </tex>.
<tex> S_n \xrightarrow[n \to \infty]{} S </tex>. Поскольку <tex> \| C \| < 1 </tex>, то <tex> \| C^k \| \to 0 </tex>, а значит, и <tex> C^k \to 0 \math </tex>. {{TODO|t=красивый ноль}}
<tex> (I - C)S_n = I - C^{n + 1} </tex>. Устремляя <tex> n </tex> к бесконечности, получаем <tex> (I - C)S = I </tex>, а значит <tex> S = \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k = (I - C)^{-1} </tex> {{---}} ограниченный оператор.
Тогда хотя бы одно <tex> X_n </tex> ''всюду плотно в <tex> X </tex>''.
|proof=
Очевидно, что <tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} </tex>, <tex> X </tex> {{---}} B-пространство (а значит, и полное метрическое), значит, по теореме Бэра о категориях, <tex> X </tex> {{---}} 2 категории в себе <tex> \implies </tex> в каком-то шаре <tex> \overline{V_r(a)} </tex> есть такое <tex> X_{n_0} </tex>, что оно всюду плотно в этом шаре.
Рассмотрим кольцо: <tex> \{z \mid \frac r2 \le \| z - a \| \le r \} </tex>. Обозначим <tex> y = z - a </tex>, тогда кольцо имеет следующий вид: <tex> \{z \mid \frac r2 \le \| y \| \le r \} </tex> {{---}} кольцо с центром в <tex> 0 </tex>.
{{TODO|t=Какие-то странные шевеления руками. Разобраться}}При параллельном переносе свойство всюду плотности множества <tex> X_{n_0} </tex> сохраняется. Будем рассматривать <tex> z \in X_{n_0} \cap \{\frac r2 \le \| z - a \| \le r \} </tex>. <tex> y = z - a, \| Ay \| = \frac {\| A(z - a) \|}{\| y \|} \| y \| \le \frac 2r (\| Az \| + \| Aa \|) \| y \| </tex>, так как <tex> \| y \| \ge \frac r2 </tex>. Поскольку <tex> z \in X_{n_0} </tex>, то <tex> \| Az \| \le n_0 \| z \| </tex>.<tex> \| z \| \le \| a \| + \| z - a \| \le r + \| a \| </tex>, так как <tex> z </tex> принадлежит кольцу. Подставляем и продолжаем неравенство выше: <tex> \| Ay \| \le \frac2r (n_0 (r + \| a \|) + \| Aa \|) \| y \| </tex>. Обозначим <tex> m = \lceil (n_0 (r + \| a \|) + \| Aa \|) \rceil </tex> (это выражение не зависит от <tex> y </tex>), получаем, что <tex> \| Ay \| \le m \| y \| \implies y \in X_m </tex>. Итак, получили, что <tex> X_m </tex> всюду плотно в кольце с центром в <tex> 0 </tex>. Возьмем теперь любой <tex> x \in X </tex>, его можно представить как <tex> x = tz, z \in \{\frac r2 \le \| z \| \le r \} </tex>. По доказанному выше, <tex> \exists y_p \in X_m \cap \{\frac r2 \le \| z \| \le r \}, y_p \to z </tex>. Но <tex> ty_p \to tz = x </tex>.<tex> \| A(ty_p) \| \le m \| t y_p \| \implies ty_p \in X_m </tex>. Взяв любую точку из <tex> X </tex>, мы можем приблизить ее элементами <tex> ty_p \in X_m </tex>, а значит, <tex> X_m </tex> всюду плотно в <tex> X </tex>.
}}
Если <tex> A </tex> {{---}} биекция, то <tex> A^{-1} </tex> существует. Осталось показать, что он будет непрерывен.
<tex> Y_n = \{ y \in Y \mid \| A^{-1}(y) \| \le n \| y \| \} </tex>.
Существует такое число <tex> n_0 </tex>, что <tex> Y_{n_0} = Y^*, \overline{Y^*} = Y </tex> (по доказанной лемме).
}}
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
