1302
правки
Изменения
→Непрерывность функционала
|proof=
Идея доказательства:
<tex> \mathrm{Cl}\, Y = X </tex>. <tex> \forall x \in X </tex> можно аппроксимировать <tex>y \in Y</tex>, то есть:
<tex> y_n \in Y,\quad y_n \to x </tex>.
Рассмотрим последовательность <tex> \{ f(y_n) \} </tex>.
Установим, что она сходится в себе на <tex> \mathbb{R} \implies \exists\, \lim_{n \to \infty} f(y_n) = \tilde f(x) </tex>.
Проверим <tex> y'_n \to x \implies \lim f(y_n) = lim f(y'_n) </tex>.
Значит наше определение корректно — предел не зависит от выбора <tex> y_n </tex>.
Проверяем, что <tex> \tilde f </tex> — линейный и удовлетворяет условию теоремы.
}}
