1679
правок
Изменения
небольшой fix
По определению всюду плотности, <tex> \mathrm{Cl}\, Y = X </tex>, то есть любое <tex> \forall x \in X </tex> можно аппроксимировать последовательностями <tex>y \in Y</tex>: <tex> y_n \to x </tex>, при этом последовательности <tex>y</tex> будут сходящимися в себе.
Рассмотрим последовательность <tex> \{ f(y_n) \} </tex>. Она сходится в себе, так как <tex>f(y_n) - f(y_m) = f(y_n - y_m)</tex>, <tex>y_n - y_m \in Y</tex>, и как мы уже заметили, последовательность <tex>y</tex> сходится в себе, тогда по непрерывности <tex> f(y_n - y_m) \le \|f\| \|y_n - y_m\|</tex> , по ограниченности <tex>f</tex> и сходимости в себе <tex>y</tex>, также сходится и последовательность . Последовательность <tex>f(y_n)</tex> сходится в себе, тогда по полноте <tex>\mathbb{R}</tex>, последовательность <tex>f(y_n)</tex> также сходится к некому пределу , который мы и определим как продолжение функционала в точке <tex>x</tex>, то есть <tex> \widetilde f(x) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \lim f(y_n)</tex>.
Установим единственность: Если <tex>y_n \to x</tex> и <tex>y'_n \to x</tex>, то <tex>y_n - y'_n \to 0 \implies f(y_n - y'_n) \to 0 </tex><tex>\implies f(y_n) - f(y'_n) \to 0 \implies f(y_n) = \lim f(y'_n) </tex>. Таким образом предел не зависит от выбора <tex> y_n </tex>.
