Изменения

Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, причем осуществляющий взаимо однозначное отображениебиекцию, тогда <tex> A^{-1} </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор.

Рассмотрим <tex> X/_Z </tex> {{---}} фактор-подпространство. <tex> i : X \to X/_Z, i(x) = [x]</tex>, где <tex> [x] </tex> {{---}} класс смежности <tex> x </tex>, <tex>i</tex> называется '''каноническим вложением''' <tex>X</tex> в фактор-пространство. Оператор <tex> i </tex> {{---}} линейный и ограниченный, переводит открытое множество в <tex> X </tex> в открытое множество в <tex> X/_Z </tex>, то есть окрытый. {{TODO|t=доказать это, упражнение. Вообще интересно, как вводить норму в фактор-пространстве? Вот [http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space_(linear_algebra) тут] вводят как <tex>\|[x]\|_{X /_M} = \inf\limits_{m \in M} \| x - m \|_X</tex>, выглядит логично, но Додонов все равно вроде об этом не говорил.}}

Рассмотрим <tex> U_A : X/_Z \to Y</tex>{{---}} оператор, ассоциированный с <tex> A </tex>. То, что <tex>U_A([x]) = Ax y</tex> , означает, что для некоторого <tex>x \in [x], k \in \mathrm{{---Ker}} операторA: A(x + k) = y</tex>, заметим, ассоциированный с что при этом <tex> A = U_A \cdot i </tex>.

Покажем, что <tex> A = U_A \cdot i </tex> разные классы переводит в разные точки <tex> Y </tex>, причем так как факторизация происходит по построению ясно ядру <tex>A</tex>: пусть <tex>U_A({{TODO|t[x]_1) =нифига не ясно}}y</tex> и <tex>U_A([x]_2)= y</tex>, это значит, что <tex>U_AA(x_1 + k_1) = y, A(x_2 + k_2) = y \implies A(x_1 + k_1) - A(x_2 + k_2) = 0</tex> разные классы переводит в разные точки , по линейности <tex> Y A(x_1 - x_2) + A(k_1 - k_2) = 0 \implies A(x_1 - x_2) = 0</tex>, так как факторизация происходит по ядру <tex>Ak_1 - k_2</tex> в ядре. Но тогда получили, что <tex>x_1 - x_2</tex>также в ядре, то есть <tex>Ax_1</tex> отличается от <tex>x_2</tex> определен с точностью до элемента на элемент ядра, и находятся в одном классе эквивалентности, получили противоречие. ({{TODO|t=завтра допилю чтобы было понятно}})

Оператор Таким образом, оператор <tex> U_A : X/_Z \to R(A)</tex> биективен, следовательно, <tex>U_A^{-1} </tex> {{---}} ограничен (по теореме Банаха), значит <tex> U_A </tex> — открытое отображение {{TODO|t=почему? Тут как-то надо, кажется, использовать, что для непрерывного отображения прообраз открытого множества открыт, но пока непонятно}}, а так как <tex>i</tex> открытое и суперпозиция открытых отображение открыта, а, получается, и <tex> A </tex> тоже открыт.