<tex>r_\sigma(A) = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|A^n\|}</tex>
|proof=
{{TODO|t=тут везде написано Обозначим для краткости <tex>r_\|sigma(A\|^n)</tex> вместо за <tex>\|A^n\|r</tex>, надо пофиксить}}.
Обозначим для краткости По определению нижней грани, <tex>r_\sigma(forall \varepsilon > 0 \exists n_0: r \le \|A)</tex> за ^{n_0}\|^{\frac{1}{n_0}} <tex>r+ \varepsilon</tex>.
По определению нижней граниЛюбое <tex n > n_0</tex> представим как <tex>n = p_n n_0 + q_n</tex>, где <tex>\forall \varepsilon > q_n = 0 , 1, \exists ldots, n_0: r \le \sqrt[n]{\|A^n\|} < r + \varepsilon- 1</tex>.
Таким образом, <tex>\forall n > n_0, |A^n \| = \|A^{p_n n_0 + q_n</tex>, где <tex>}\| \le \|A^{p_n n_0}\| \|A^{q_n = 0, 1, } \|\le \ldots, |A^{n_0 - 1}\|^{p_n} \|A\|^{q_n}</tex>.
Значит, <tex>\sqrt[n]{\|A^n\|} = ^{\sqrt[p_n n_0 + q_n]frac{1}{\|A^n\|}</tex>, <tex>\|A^n\| } \le {\|A^{p_n n_0}\| }^{\|A^frac{p_n}{q_nn}} \|\le {\|A^n_0\|}^p_0 {\|A^frac{q_n}\|{n}}</tex>.
Значит, Рассмотрим <tex>{\|A^{n_0}\|}^{\sqrt[frac{p_0}{n]}} = {\|A^n{n_0}\|} \le \sqrt[^{\frac{nn_0}{p_0p_n n_0 + q_n}}]\le {\|A^{n_0}\|} \sqrt[^{\frac{nn_0}{q_np_n n_0}}]{= \|A^{n_0}\|^{\frac{1}{n_0}} < r+ \varepsilon</tex>.
Здесь Теперь рассмотрим <tex>\sqrt[\frac{nq_n}{p_0n}]{\|Ale \|^frac{n_0- 1}{n} = \sqrtxrightarrow[n \to \fracinfty]{p_n n_0 + q_n}{p_0}]{0</tex>, значит, <tex>\|A\|^{n_0}} \le \sqrt[\frac{p_n n_0q_n}{p_0}]{\|A\|^{n_0n}} = \sqrt[n_0]{\|A\|^{n_0}} < r_\sigma + \varepsilonto 1</tex>, а то есть, <tex>\sqrt[forall \varepsilon > 0 \exists n \frac{forall n' > n}{q_n}]{: \|A\|} \le \sqrt[^{\frac{q_{n'}}{n_0 - 1n'}]{\|A\|} \to le 1 + \|A\|^0 = 1varepsilon</tex>.
ОтсюдаТогда, с одной стороны, по определению <tex>r</tex> как инфимума, для всех <tex>n</tex>: <tex>r \le \sqrt[n]{\|A^n\|^{\frac{1}{n} r + }</tex>, но с другой, по только что показанному, для произвольного <tex>\varepsilon</tex>, начиная с какого-то <tex>n</tex> можно сказать, что <tex>\lim|A^n\|^{\limits_frac{1}{n }} \to le (r + \infty} varepsilon) (1 + \sqrt[n]{varepsilon)</tex>. Тогда из этого получаем, что <tex>\|A^n\|^{\frac{1}{n}} \to r</tex>, что и требовалось доказать.
}}
