277
правок
Изменения
→Теорема о пространстве линейных отображений
=== Теорема о пространстве линейных отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(1) ||\ldots||_{m, n} </tex> — норма в пр-ве <tex> \alpha_{m, n} </tex><br>
т.е. <tex> \begin{matrix} 1. ||A|| \ge 0, ||A|| = 0 \Leftrightarrow A = \emptyset_{m, n} \\ 2. \forall \lambda \in \mathbb{R} : ||\lambda A|| = |\lambda|\cdot||A|| \\ 3. ||A + B|| \le ||A|| + ||B|| \end{matrix} </tex><br>
<tex> (2) A \in \alpha_{m, n}, B \in \alpha_{n, k}: ||BA||_{m, k} \le ||B||_{n, k} \cdot ||A||_{m, n} </tex>
|proof=
<tex>(1)</tex>
1. очевидно <tex>||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \emptyset </tex> // для <tex> x \in B(0, 1) </tex>
2. очевидно, св-ва <tex> sup </tex>
3. <tex> \forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x| </tex><tex> = (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C </tex>
что такое C у меня не написано =(
}}
=== Теорема Лагранжа для отображений ===
{{Теорема
