Изменения

Рассмотрим некоторое <tex>\lambda \in \mathbb C</tex>. Если для него существует и непрерывен оператор <tex>R_\lambda(A) = RR_\lambda = (A - \lambda I)^{-1}</tex> (<tex>I</tex> {{---}} единичный оператор), то он называется '''резольвентой'''. Множество <tex>\lambda</tex>, для которых существует <tex>R_\lambda</tex>, обозначается <tex>\rho(A)</tex>, и называется '''резольвентным множеством''', дополнение к нему обозначается <tex>\sigma(A)</tex> и называется '''спектром''' оператора <tex>A</tex>.

{{ТеоремаУтверждение|about=аналитичность резольвенты в резольвентном множестве|statement=<tex>R_\|A\| lambda</tex> как функция из комплексного числа в ограниченный оператор, аналитична в < +tex>\infty \Rightarrow \sigmarho(A) \ne \varnothing</tex>и в бесконечно удаленной точке комплексной плоскости.

Если <tex>L(X)</tex> (пространство линейных ограниченных операторов <tex>A: X \rightarrow X</tex>) банахово, то в нем можно рассматривать операторно степенные ряды <tex>\sum\limits_{n{TODO|t=0}^{\infty} A_n\lambda^n</tex>, их свойства копируют свойства обычных степенных рядовкакая-то хурма полная. Докажем, что оператор Что такое <tex>R_\lambdalambda_0</tex> аналитичен в <tex>\rho(A), например?</tex> и в <tex>\infty</tex>.}}

Теперь допустим, что {{Теорема|about=непустота спектра ограниченного оператора|statement=<tex>\|A\| < +\infty</tex> и <tex>\implies \sigma(A) = \varnothingne \emptyset</tex>. Тогда |proof=Если <tex>\rhoL(AX) = \mathbb C</tex>. Для любого (пространство линейных ограниченных операторов <tex>rA: X \rightarrow X</tex> оператор ) банахово, то в нем можно рассматривать операторно степенные ряды <tex>R_\sum\limits_{n=0}^{\infty} A_n\lambda(z)^n</tex> ограничен в шарах , их свойства копируют свойства обычных степенных рядов. Воспользуемся аналитичностью резольвенты: если <tex>0 < z < r\sigma(A) = \emptyset</tex> и , то <tex>z > r\rho(A) = \mathbb{C}</tex>, то есть в пределах любого круга и в бесконечно удаленой точке резольвента ограничена, тогда по [http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_(complex_analysis) теореме Лиувилля] ({{TODO|t=ее надо уметь доказывать? В формулировке в википедии я не понимаю, для чего аналитичность в бесконечности. Вот [http://en.wikipedia.org/wiki/Entire_function тут] написано так: "As a consequence of Liouville's theorem, any function that is entire on the whole Riemann sphere (complex plane and the point at infinity) is constant.". А также в теореме Лиувилля требуется ограниченность всех точек в совокупности, почему В общем, разобраться надо. Но }}), <tex>R_\lambda</tex> аналитичен на всей комплексной плоскости, значит, по теореме Лиувилля— константная функция, но тогда бы все <tex>R_A - \lambdaI</tex> были бы одинаковы, чего, очевидно, быть не может, то есть константа, пришли к противоречиюполучили противоречие и спектр непуст. {{TODO|t=НЕТ, НЕ ПРИШЛИ ЕЩЕ!}}