Изменения

Рассмотрим ряды Ряд <tex> \sum_{n(A) =0}^{+ \infty} sum a_n (z - z_0)^n = f(z), \ R \in [0; , + \infty], \ |z - z_0| < R </tex> и <tex> (\sum_{n=1}^{+ \infty} n a_n(z - z_0)^{n-1} </tex> Тогда:

1) радиус сходимости второго ряда равен Ряд <tex> R (A)' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

Тогда: 1) радиус сх-ти <tex> (A') = R </tex>. 2) при <tex> |z - z_0| < R ; f'(z) = \ sum n a_n (z - z_0)^n </tex> [Тогда <tex>f</tex> — дифф. при <tex> |z - z_0| < r </tex> и <tex> f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^n </tex> ]|proof=<tex>R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{|a_n|}}; R_A = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{(n + 1)|a_{n + 1}|}} = R</tex> <tex> \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h} </tex> Проверим р. сх. <tex> z \in B(r_0, r), r < R </tex>; <tex> ]h : |h| \le r - |z - z_0| </tex> Тогда: <tex> z + h \in \overline{B(r_0, r)}; |z + h - z_0| \le r; |z - z_0| \le r </tex> <tex> |a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h}| \le \frac{|a_n|}{|h|} n r^{n - 1} |h| = |a_n| n r^{n - 1} </tex> <tex> \sum h|a_n|r^{n - 1} </tex> — сх. <tex>\Rightarrow</tex> по пр. Вейерштрасса р. сх. при <tex> |h| < r - |z - z_0| </tex> <tex> f(z) = lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum lim a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h} = \sum n(z - z_0)^{n - 1} a_n </tex>