Изменения
→5 Пространство R^{\infty} : метрика, покоординатная сходимость.
= 5 Пространство <tex>R^{\infty}</tex> : метрика, покоординатная сходимость. =
* <tex>X = \mathbb{R}^{\infty}</tex>. Превращение в МП должно быть связано с желаемой операцией предельного перехода. В случае конечномерного пространства сходимость совпадает с покоординатной сходимостью, хотим того же самого для бесконечномерного. Введем метрику: <tex>\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} {1 \over 2^n}{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}</tex> (стандартный способ превратить в метрическое пространство счетное произведение метрических пространств, коим и является <tex>R^{\infty}</tex>). Проверим, что эта метрика удовлетворяет аксиомам:
** этот ряд всегда сходящийся, так как мажорируется убывающей геометрической прогрессией <tex>\sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} = 1</tex>, соответственно, расстояние ограничено единицей.
** первая аксиома: неотрицательность очевидна, равенство метрики нулю в обе стороны очевидно
** вторая аксиома: еще очевиднее
** третья аксиома легко вытекает из следующего утверждения:
{{Утверждение
|statement=<tex> {|x - z| \over 1 + |x - z|} \le {|x - y| \over 1 + |x - y|} + {|y - z| \over 1 + |y - z|}</tex>
}}
{{Утверждение
|statement=Сходимость в метрике <tex> \mathbb{R}^{\infty} </tex> эквивалентна покоординатной.
}}
= 6 Норма в линейном множестве, определение предела по норме, арифметика предела. =
