277
правок
Изменения
→Теорема о почленном предельном переходе в суммах
2) <tex> \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) </tex>
|proof=
1) <tex> S_n = \sum_{n + 1}^{+ \infty} u_n(x); S_N^{(a)} = \sum_{n = 1}^{N} a_n ? S_N^{(a)} </tex> — имеет предел
* Критерий Больцано-Коши <tex> \lim S_n^{(a)} = S^{(a)} </tex>
* <tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists N \ \forall n > N \ \forall p : |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| < \epsilon </tex>
<tex> |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| \le |S_n^{(a)} - S_n(x)| + |S_n(x) - S_{n + p}(x)| + |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| </tex>
Берём <tex> \forall \epsilon > 0 </tex> из р. сх-ти
<tex> \exists N \ \forall n > N \ \forall p \ \forall x : |S_n(x) - S_{n + p}(x)| < \frac{\epsilon}{3} </tex>
<tex> |S_n(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>
<tex> |S_{n + p}(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>
При данном <tex>n : S_n(x) = u_1(x) + \ldots + u_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} a_1 + \ldots + a_n = S_n^{(a)} </tex>
Выберем <tex> x </tex> так близко к <tex> x_0 </tex>, чтобы <tex> \begin{matrix} |S_n^{(a)} - S_n(x)| < \frac{\epsilon}{3} \\ |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| < \frac{\epsilon}{3} \end{matrix} </tex>
<tex>u_n(x); \hat{u}_n(x) := \begin{Bmatrix} u_n(x) & x \ne x_0 \\ a_n & x = x_0 \end{Bmatrix}</tex> — непр. равномерно в <tex> (\cdot) x_0 </tex>
<tex> \sum \hat{u}_n(x) </tex> — р. сх. на <tex> \langle a, b \rangle </tex>
<tex> M_n = \sup |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} \hat{u}_n(x)| \le \sup |\sum_{n = n + 1}^{+ \infty} u_n(x)| + |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} a_n| \xrightarrow[N \rightarrow +\infty]{} 0 </tex>
Утв. 2 следует из т. 1. Стокса-Зайдля для рядов ?
}}
