Изменения

Пусть <tex> r - 1 f : E \subset \mathbb{R}^2 \in to \mathbb{NR} ; \ a \in IntE </tex> <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2} </tex> D — опр. в окр. <tex> (\cdot) a </tex> открыто , дифф. в окр. <tex> (\cdot) a </tex> <tex> \mathbbfrac{\partial^2 f}{R\partial x_1 \partial x_2}^n </tex>, и <tex> f \in Cfrac{\partial^2 f}{r\partial x_2 \partial x_1} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex> Тогда эти две частные производные равны.|proof=<tex> \vartriangle^2 f(Dh, k) = f(a_1 + h, a_2 + k)- f(a_1 + h, \ i_1a_2) - f(a_1, ... a_2 + k) + f(a_1, i_r \in [1 : n] a_2) </tex>— задано при <tex> |h|, |k| < r; V(a) = B(a, набор 2r) </tex>  фикс. <tex>k: \varphi(j_1h) = f(a_1 + h, ...a_2 + k) - f(a_1 + h, j_ra_2) </tex> получен из набора  <tex> \vartriangle^2 f(i_1h, k) = \varphi(h) - \varphi(0) \overbrace{=}^{t.Lagrange} \varphi'(\bar h)h = </tex><tex> (f'_{x_1}(a_1 + \bar h, a_2 + k) - f'_{x_1}(a + \bar h, a_2) )h \overbrace{=}^{t.. Lagrange} f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, i_ra_2 + \bar h) hk </tex> перестановкой. Тогда для всех  <tex> x \in D bar h </tex> верно — средняя точка <tex> D_{i_1\psi(f_2) = f(a_1 + h, ...a_2 + k) - f(a_1, i_r}a_2 + k) </tex> <tex> \vartriangle^r 2 f(xh, k) = D_f''_{j_1x_2 x_1}(a_1 + \hat h, ...a_2 + \hat k)hk </tex> <tex> f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, j_ra_2 + \hat k) = f''_{x_1 x_2}^r f(xa_1 + \bar h, a_2 + \bar k) \Rightarrow f''_{x_2 x_1} = f''_{x_1 x_2} </tex>.