315
правок
Изменения
→11 Определение скалярного произведения, равенство параллелограмма, неравенство Шварца.
= 11 Определение скалярного произведения, равенство параллелограмма, неравенство Шварца. =
Пусть <tex>H</tex> — линейное пространство. Величина <tex>(x, y) \in \mathbb R</tex> называется скалярным произведением точек множества <tex>H</tex>, если она удовлетворяет следующим трём аксиомам:
# <tex>(x, x) \ge 0</tex>, <tex>(x, x) = 0 \iff x = 0</tex>
# <tex>(x, y) = (y, x)</tex>
# <tex>(\alpha x + \beta y, z) = \alpha(x, z) + \beta(y, z)</tex>
Основное значение для скалярного произведения имеет неравенство Шварца:
{{Утверждение
|statement=
<tex>|(x, y)| \le \sqrt{(x, x)}\sqrt{(y, y)}</tex>
}}
//не нашёл этого в конспектах, беру с википедии
Характеристическим свойством, выделяющим гильбертовы пространства <tex>H</tex> среди прочих банаховых пространств, является равенство параллелограмма:
<tex>\forall x,y\in H\ \quad \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)</tex>
= 12 Наилучшее приближение в НП в случае конечномерного подпространства. =
= 13 Наилучшее приближение в унитарном пространстве, неравенство Бесселя. =
