Изменения

Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто, ; <tex> F \in C^1(O, \mathbb{R}^m) ; x_0 \in O; \det F^{-1}(x_0) \ne 0 </tex>  Тогда <tex> \exists U(т.е. x_0): \ F |_U </tex> — диффеоморфизм (<tex> F |_U </tex> или <tex> F |U </tex> 1 раз непрерывно дифференцируемо на — сужение отображения <tex> O F </tex>, а его первая производная непрерывна на множество <tex> D U </tex>), .|proof=Нужно проверить лишь: <tex> \exists U(x_0 \in O, \ ) : F|_U </tex> — обратима [так. как можно считать что <tex> \det F'(x_0x) \neq ne 0 </tex>. Тогда на <tex> U(x_0) \exists Rightarrow F(U(x_0): \ ) </tex> — откр. <tex> F | _U ^{-1} </tex> — диффеоморфизм откр. на мн-ве и дифф.] <tex> |F(x) - F(y)| \ge^{?} |x - y| </tex>  <tex> \exists c \ \forall h \in \mathbb{R}^m : |F '(x_0)h| \ge c|_U h|; \ U := B(x_0, r) < 0 </tex> или  <tex> \begin{matrix} 1: \forall x \in U & \det F'(x) \ne 0 \\ 2: \forall x \in U & \|U F'(x) - F'(x_0) \| < \frac{c}{4} \end{matrix} </tex> <tex> x, y \in B(x_0, r); y = x + h </tex> — сужение отображения  <tex> F (y) - F(x) = ( F(x + h) - F(x) - F'(x)h ) + ( F'(x) - F'(x_0) )h + F'(x_0)h </tex> на множество  <tex> U |F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F'(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge </tex> <tex> \ge c|h| - sup_{t \in [x, x + h]} \| F'(t) - F'(x) \| \cdot |h| - \| F'(x) - F'(x_0).\| \cdot |h| \ge c|h| = \frac{c}{4}|h| </tex>