Изменения
→Неравенство Коши — Буняковского
: <tex>Cov^2(\eta,\xi) \leqslant \mathrm{D}[\eta] \cdot \mathrm{D}[\xi]</tex>.
|proof= Для этого предположим, что <tex> t </tex> {{---}} некоторое вещественное число, которое мы выберем позже, и рассмотрим очевидное неравенство
<tex> E((V+tW)^2) \ge geqslant 0 </tex>, где <tex> V = \eta - E\eta </tex> и <tex> W = \xi - E\xi </tex>.
Используя линейность математического ожидания, мы получаем такое неравенство:
<tex> E(V^2)+2tE(VW)+t^2E(W^2) \ge geqslant 0 </tex>
Обратим внимание, что левая часть является квадратным трехчленом, зависимым от <tex> t </tex>.
Итак, наш квадратный трехчлен выглядит следующим образом:
<tex>\sigma_\xi ^2t^2+2Cov(\eta,\xi)t+\sigma_\eta ^2 \ge geqslant 0</tex>
Из этого неравенства мы видим, что левая сторона может равняться <tex>0</tex> только тогда, когда многочлен имеет двойной корень (т.е. график касается оси <tex>x</tex> в одной точкeточке), что может быть только при нулевом дискриминанте. Таким образом, дискриминантвсегда должен быть неположительнымне положительным, что означает:
<tex> 4Cov^2(\eta,\xi)-4\sigma_\eta ^2\sigma_\xi ^2 \le leqslant 0</tex>
<tex>Cov^2(\eta,\xi) \le leqslant \sigma_\eta ^2\sigma_\xi ^2</tex> <tex>Cov^2(\eta,\xi) \leqslant \mathrm{D}[\eta] \cdot \mathrm{D}[\xi]</tex>
что и требовалось доказывать.
