277
правок
Изменения
→Достаточное условие экстремума
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> D f = Е </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n m \to \mathbb{R} </tex>, дифф. на <tex> f \in C^{(2)}(D)Е, \ x_0 a \in D E </tex> — стационарная точка <tex> f </tex> (то есть <tex> \nabla f(x_0a) = \mathbb{O}_n _m </tex>). Тогда справедливы следующие утверждения:<tex> d^2 f(a, h) = Q(h) </tex> — кв. форма.
2) Если <tex> Q(h) </tex> отрицательно определённая, то <tex> a </tex> — точка максимума (локального). 3) Если форма <tex> d^2 fQ(x_0h) </tex> неопределённаяне знакоопределённая, то <tex> x_0 a </tex> — не точка экстремума . 4) Если <tex> f Q(h) </tex>положительно/отрицально опр. вырожденное, то (?) может быть макс., мин.требуется исследование
|proof=
<tex>(1) : f(a + h) = f(a) + \sum_{i = 1}^{m} f'_{x_i}(a) \cdot h_i + \frac{1}{2} \sum f''_{x_i x_j}(a + \theta h)h_i h_j </tex>
<tex> 2(f(a + h) - f(a)) = \sum_{i, j = 1}^{m}f''_{x_i x_j}(a)h_i h_j + \sum_{i, j = 1}^{m}(f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> // <tex> |h_i| < |h| </tex>
Выберем <tex> U(a) </tex> так, чтобы при <tex> a + h \in U(a) </tex>
<tex> \sum |f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f(a)| \le \frac{\gamma}{2} </tex>
<tex> 2(f(a + h) - f(a)) \ge \gamma_Q |h|^2 - \frac{\gamma_Q}{2} |h|^2 > 0 </tex>
Таким образом <tex>a</tex> точка локального минимума
<tex>(3) : Q(h) </tex> — не знакоопределён. <tex> \begin{matrix} h \ne 0 & Q(h) \ge 0 \\ \bar h \ne 0 & Q(\bar h) < 0 \end{matrix} </tex>
<tex> 2(f(a + th) - f(a)) = Q(th) + \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))th_i th_j = </tex>
<tex> = t^2 Q(h) + t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex>
<tex>Q(h) > 0; t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> — при <tex> t \to 0 </tex> эта сумма из ? б.м по модулю <tex> \le Q(h) </tex> при малых <tex> t </tex>
}}
