Изменения

Рассмотрим последовательность <tex> \{ f(y_n) \} </tex>. Она сходится в себе, так как <tex>f(y_n) - f(y_m) = f(y_n - y_m)</tex>, <tex>y_n - y_m \in Y</tex>, и как мы уже заметили, последовательность <tex>y</tex> сходится в себе, тогда <tex>f(y_n - y_m) \le \|f\| \|y_n - y_m\|</tex>, по ограниченности <tex>f</tex> и сходимости в себе <tex>y</tex>, также сходится. Последовательность <tex>f(y_n)</tex> сходится в себе, тогда по полноте <tex>\mathbb{R}</tex>, последовательность <tex>f(y_n)</tex> также сходится к некому пределу , который мы и определим как продолжение функционала в точке <tex>x</tex>, то есть <tex> \widetilde f(x) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \lim f(y_n)</tex>.

Покажем, что <tex> \widetilde f </tex> ­— линейный и удовлетворяет условию теоремы: