Изменения

1) <tex> r F(O) = 1 O' </tex>— открытое

Пусть <tex> S := F^{-1}; F(O) = O' </tex> — откр.; <tex> , S : O' \to O </tex>;

Пусть <tex> U </tex> — откр. <tex> \subset O; \ F(U) </tex> — откр. открытое, тогда <tex> S^{-1}(U) </tex> — откроткрытое.

* <tex> T : X \to Y; T </tex> — непр. непрерывное отображение <tex> \Leftrightarrow \forall U \subset Y : T^{-1}(U) </tex> — откроткрыто. // Мне кажется, из определения диффеоморфизма и предыдущей теоремы следует, что обратное отображение тоже диффеоморфизм и предыдущие строчки и так очевидны.

<tex> y - y_0 = F(x) - F(x_0) = A(x - x_0) + o(|x - x_0|) </tex>

[* <tex> T </tex> — невыр. в диффеоморфизм, матрица <tex> T'(x_0; )</tex> невырождена <tex>\Rightarrow</tex> <tex> \exists c, \delta \ \forall x \in B(x_0, \delta) \ |T(x) - T(x_0)| > c|x - x_0| </tex>]// По лемме о почти локальной инъективности Возьмём <tex> c, \delta </tex> из леммы.

Возьмём <tex> c, \delta </tex> — из леммы; Пусть <tex> T := F'(x_0) </tex>