|statement=Пусть группа <tex>G</tex> действует на множество <tex>X</tex>. Будем называть два элемента <tex>x</tex> и <tex>y</tex> эквивалентными, если <tex>x = gy</tex> для некоторого <tex>g \in G</tex>. Тогда число классов эквивалентности равно сумме числа неподвижных точек по всем элементам группы <tex>G</tex>, делённой на размер этой группы:
<tex> |C | = </tex> <tex dpi = "180">\frac{1} {|G|}</tex><tex>\sum\limits_{k \in G}I(k)</tex>. Где <tex>I(k)</tex> {{---}} количество неподвижных точек для элемента <tex>k</tex>.
|proof=
Рассмотрим сумму в числителе дроби справа:Так как <tex>I(k)</tex> - сумма неподвижных точек для элемента <tex>k</tex>, то по определению <tex>\sum\limits_{k \in G}I(k)= |\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}|</tex> {{---}} это ничто иное как количество "инвариантных пар".
{{ОпределениеСледовательно для доказательства леммы необходимо и достаточно доказать следующее равенство:<tex>|C|\cdot|G|definition= Пара элементов '''инвариантна'''|\{(x, если они оба принадлежат к одному классу эквивалентности.}g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}|</tex>
Рассмотрим правую часть равенства:
<tex>|\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}| = \sum_{x \in X} |G_x| = \sum_{x \in X}</tex><tex dpi = "180"> \frac{|G|}{|Gx|}</tex><tex> = |G| \sum_{x \in X}</tex><tex dpi = "180">\frac{1}{|Gx|} </tex>
<tex>= |G|\sum_{P\in C}\sum_{x\in P}</tex><tex dpi = "180"> \frac{1}{|P|}</tex>
ОчевидноЗаметим, что в формуле мы имеем право изменить порядок суммирования - сделать внешнюю сумму по элементам множества <tex>f\sum_{x\in P}</tex>, а внутри нее поставить величину <texdpi = "180">J(f)\frac{1}{|P|}</tex> {{---}} количество перестановок, относительно которых объект <tex>f= 1</tex> инвариантенСледовательно:
<tex>|G|\sum_{P\in C}\sum_{x\in P}</tex><tex dpi = "180"> \frac{1}{|P|}</tex><tex> = |G|\sum_{P\in C} 1</tex>.
Очевидно, что <tex >C =</tex> <tex dpi = "180"> \fracsum_{P\in C} 1} {= |GC|}</tex><tex>\sum\limits_{f} J(f)</tex>. Тогда получим:
<tex>|G|\sum_{P\in C} 1 = |C|\cdot|G|.</tex>
Для доказательства этой формулы составим таблицу, столбцы которой будут подписаны всеми значениями <tex>f_i</tex>, строки {{---}} всеми перестановками <tex>k_j</tex>, а в клетках таблицы будут стоять их произведения. Тогда, если мы будем рассматривать столбцы этой таблицы как множества, то некоторые из них могут совпасть, и это будет означатьОткуда следует, что соответствующие этим столбцам <tex>f</tex> также эквивалентны. Таким образом, количество различных как множество столбцов равно количеству классов эквивалентности.
Столбцы таблицы сами распадаются на классы эквивалентности; зафиксируем теперь какой-либо класс и рассмотрим столбцы в нём. Во-первых, заметим, что в этих столбцах могут стоять только элементы <tex>f_i</tex> одного класса I(иначе получилось бы, что некоторым эквивалентным преобразованием мы перешли в другой класс эквивалентности, что невозможноk)= |C|\cdot|G|. Во-вторых, каждый элемент <tex>f_i</tex> будет встречаться одинаковое число раз во всех столбцах (это также следует из того, что столбцы соответствуют эквивалентным элементам). Отсюда можно сделать вывод, что все столбцы внутри одного класса эквивалентности совпадают друг с другом как мультимножества. Теперь зафиксируем произвольный элемент <tex>f</tex>. С одной стороны, он встречается в своём столбце ровно <tex>J(f)</tex> раз (по самому определению)ч. С другой стороны, все столбцы внутри одного класса эквивалентности одинаковы как мультимножестват. Следовательно, внутри каждого столбца данного класса эквивалентности любой элемент <tex>g</tex> встречается ровно <tex>J(g)</tex> разд. Таким образом, если мы возьмём произвольным образом от каждого класса эквивалентности по одному столбцу и просуммируем количество элементов в них, то получим, с одной стороны, <tex>C|G|</tex> (это получается, просто умножив количество столбцов на их размер), а с другой стороны {{---}} сумму величин <tex>J(f)</tex> по всем <tex>f</tex>(это следует из всех предыдущих рассуждений):<tex> C =</tex> <tex dpi = "180"> \frac{1} {|G|}</tex><tex>\sum\limits_{f} J(f)</tex>
}}
