81
правка
Изменения
→n-угольник максимальной площади, вписанный в окружность
[http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=57568&into_basket=57568 школьное доказательство].
Нормальное доказательство:
Пусть углы, под которыми видны стороны многоугольника из центра окружности равны <tex>a_1, a_2, ... a_n</tex>. Необходимо максимизировать <tex>0.5 R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... + sin(a_n)) = 0.5 R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... - sin(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1})</tex>.
Возьмем производную по каждой координате и приравняем к нулю:
<tex>
\begin{cases}
cos(a_1) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}) \\
... \\
cos(a_{n-1}) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1})
\end{cases}
</tex>
Откуда получаем <tex>a_1 = a_2 = ... = a_{n-1}</tex>. Поскольку все углы лежат в приделах <tex>(0..\pi)</tex>, то из первого уравнения <tex>a_1 = 2\pi - a_1 - a_2 - ... - a_{n-1}</tex> находим <tex>a_1 = 2\pi / n</tex>. То, что это решение и есть максимум очевидно.
=== Непотенциальное векторное поле ===
=== Односвязная область ===
Двумерная плоскость, без всяких вырезов — в ней всякая петля стягиваема.
