Изменения
Нет описания правки
Пусть <tex>X</tex> {{---}} банахово, <tex>A_n \in L(X, Y)</tex>, <tex>A_n</tex> поточечно ограничена. Тогда <tex>A_n</tex> равномерно ограничена.
|proof=
Сначала покажем, что существует замкнутый шар <tex>\overline V(a, r)</tex>, в котором последовательнось <tex>\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| < +\infty</tex> ограничена. Покажем от противного, пусть такого шара нет, возьмем тогда произвольный замкнутый шар <tex>\overline V</tex>, в нем <tex>\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| = +\infty</tex>.
Тогда в силу неограниченности найдется <tex> n_1: \|A_{n_1} x_1\| \ge 1</tex>; <tex>A_{n_1}</tex> непрерывен, значит, можно взять <tex>V_r(x) = \overline {V_1} \subset \overline V</tex>, где <tex>r = \frac {r(\overline V)}{2}</tex>.
