Изменения
Правильное доказательство полноты
Можно показать, что <tex> X \times Y </tex> банахово с нормой <tex> \| (x, y) \| = \| x \| + \| y \| </tex>:
* То, что <tex>\| (x, y) \| = \|x\| + \|y\|</tex> — норма, показывается очевидно
* Покажем, что если <tex>(x_n, A x_ny_n)</tex> сходится в себе, то она сходится к элементу <tex>X \times Y</tex>. Пусть Рассмотрим последовательность <tex>\|(x_n, A x_ny_n) - (x_m, A x_my_m)\| \xrightarrow[n, m \to \infty]{} 0</tex>, тогда значит, <tex>\|(x_n - x_mx_n, A x_n y_m - A x_m)y_m)\| \to 0</tex>, и по определению нормы <tex>X \times Y</tex>, <tex>= \|x_n - x_m\| + \|A x_n y_n - A x_my_m\| = \to 0</tex>, значит, то есть <tex>\|x_n - x_m\| \to 0</tex> и <tex>\|A x_n - A x_m\| \to 0y_n</tex>сходятся в себе, а значит, по полноте пространств <tex>X</tex>, существует <tex>\lim x_n = x \in X</tex>; по полноте и <tex>Y</tex>, существует <tex>x \in X = \lim A x_n = , y \in Y= \lim y_n</tex>. Но по непрерывности Значит, <tex>A</tex>(x, <tex>y = ) \lim A x_n = A in X \lim x_n = A xtimes Y</tex>. Далее очевидно показывая, а значит, пара что <tex>\|(x_n, y_n) - (x, y = A x)\| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex> также в , покажем, что <tex>X \times Yx, y</tex>и есть нужный предел.
Рассмотрим следующий оператор: <tex> T : G(A) \to X, T(x, Ax) = x </tex>.
<tex> T </tex> биективно отображает <tex> G(A) </tex> в <tex> X </tex>.
<tex> \| x \| = \| T(x, Ax) \| = \| x \| \le \| (x, Ax) \| \implies T </tex> ограничен.
По теореме Банаха о гомеоморфизме, так как <tex> T </tex> ограничен и биективен, то существует <tex> T^{-1} </tex>, который также ограничен. Рассмотрим его.
3)Определим норму, как <tex> ||[x]||_{X|_Z} = \inf \limits_{x \in Z} \| x- z \|_{X}</tex>. Ясно, что она удовлетворяет аксиомам нормы.
<tex>\|i\| = \sup \limits_{\|x\| = 1} \|ix\| = \sup \limits_{\|x\| = 1} \|[x]\| = \sup \limits_{\|x\| = 1} \inf \limits_{z \in Z} \| x- z \|_{X} </tex><tex> \le \sup \limits_{\|x\| = 1} \inf \limits_{z \in Z} (\| x \|_{X} + \| z \|_{X}) \le 1 + \inf \limits_{z \in Z} \| z \|_{X} < + \infty </tex> - показали ограниченность
