Изменения

Пусть <tex> X </tex> {{---}} B-пространство, оператор <tex> C : X \to X, C \in \mathrm{L}(X) </tex> и <tex> \| C \| < 1 </tex>.

<tex> \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k </tex> {{---}} ряд в B-пространстве <tex> \mathbb{L}(X) </tex> сходится, если сходится ряд из соответствующих норм. Покажем это: пусть есть операторный ряд <tex>\sum\limits_{i=1}^\infty A_i</tex>. Рассмотрим последовательность частичных сумм <tex>S_n = \sum\limits_{i=1}^n A_i</tex>, она будет сходиться если сходится в себе (по Банаховости пространства). Тогда <tex>S_n - S_m = \sum\limits_{i=m}^{n} A_i</tex>, а <tex>\|S_n - S_m\| = \| \sum\limits_{i=m}^n A_i \| \le \sum\limits_{i=m}^n \|A_i\|</tex> (так как для конечного числа членов норма суммы меньше суммы норм), но так как последовательность норм сходится, она также сходится в себе и <tex>\sum\limits_{i=m}^n \|A_i\| \xrightarrow[n, m \to \infty]{} 0</tex>, то есть частичные суммы сходятся в себе, а, значит, и сходятся.