26
правок
Изменения
черновик первой части конспекта
{{В разработке}}
Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.
== Естественное вложение ==
<tex> E^* </tex> {{---}} множество линейных непрерывных функционалов над <tex> E </tex>. <tex> E^* </tex> называют пространством, сопряженным к <tex> E </tex>.
Аналогично, <tex> E^{**} </tex> {{---}} пространство, сопряженное к <tex> E^* </tex>.
Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый ''естественный изоморфизм'', сохраняющий норму точки. {{TODO|t=?}}
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex> F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.
<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex>, тогда <tex> F_x \in E^{**} </tex>.
Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.
<tex> F </tex> линейно: <tex> F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2} </tex>.
<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>.
С другой стороны, по теореме Хана-Банаха, <tex> \forall x_0 \in E, \exists f_0 \in E^* </tex>, что выполняются два условия:
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex>
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>.
<tex> | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 </tex>, потому получаем, что <tex> \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| </tex>.
Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> {{---}} изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили ''естественное вложение'' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.
<tex> E </tex> называется ''рефлексивным'', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.
Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).
<tex> C[0, 1] </tex> {{---}} не является рефлексивным.
== Сопряженный оператор ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.
Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \phi \| \| A \| \| x \| </tex>.
Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.
<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} ''сопряженный оператор'' к <tex> A </tex>.
{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
|proof=
Возьмем <tex> x \in E, \varphi \in F^* </tex>.
<tex> | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| </tex>.
Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A*^ \| \le \| A \| </tex>.
Для доказательства в обратную сторону используем теорему Хана-Банаха:
По определению нормы: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.
<tex> Ax \in F </tex>, по теореме Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.
<tex> \| A^*(\varphi_0, x) \| = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.
<tex> \| A^*(\varphi_0, x) \| \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.
Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.
Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем, что <tex> \| A^* \| \ge \| A \| </tex>, и, окончательно, <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
}}
Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.
== Естественное вложение ==
<tex> E^* </tex> {{---}} множество линейных непрерывных функционалов над <tex> E </tex>. <tex> E^* </tex> называют пространством, сопряженным к <tex> E </tex>.
Аналогично, <tex> E^{**} </tex> {{---}} пространство, сопряженное к <tex> E^* </tex>.
Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый ''естественный изоморфизм'', сохраняющий норму точки. {{TODO|t=?}}
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex> F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.
<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex>, тогда <tex> F_x \in E^{**} </tex>.
Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.
<tex> F </tex> линейно: <tex> F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2} </tex>.
<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>.
С другой стороны, по теореме Хана-Банаха, <tex> \forall x_0 \in E, \exists f_0 \in E^* </tex>, что выполняются два условия:
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex>
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>.
<tex> | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 </tex>, потому получаем, что <tex> \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| </tex>.
Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> {{---}} изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили ''естественное вложение'' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.
<tex> E </tex> называется ''рефлексивным'', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.
Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).
<tex> C[0, 1] </tex> {{---}} не является рефлексивным.
== Сопряженный оператор ==
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.
Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \phi \| \| A \| \| x \| </tex>.
Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.
<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} ''сопряженный оператор'' к <tex> A </tex>.
{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
|proof=
Возьмем <tex> x \in E, \varphi \in F^* </tex>.
<tex> | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| </tex>.
Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A*^ \| \le \| A \| </tex>.
Для доказательства в обратную сторону используем теорему Хана-Банаха:
По определению нормы: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.
<tex> Ax \in F </tex>, по теореме Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.
<tex> \| A^*(\varphi_0, x) \| = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.
<tex> \| A^*(\varphi_0, x) \| \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.
Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.
Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем, что <tex> \| A^* \| \ge \| A \| </tex>, и, окончательно, <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
}}
