Изменения
Нет описания правки
'''Тонкая куча''Тонкая куча'(англ. ''Thin heap'' ) {{---}} это структура данных, реализующая приоритетную очередь с теми же асимптотическими оценками, что и ''фиббоначиева [[Фибоначчиева куча|фибоначчиева куча'']], но имеющая большую практическую ценность из-за меньших констант.
= Тонкое дерево =
{{Определение
|id=thin_tree_def. |definition='''Тонкое дерево''' (англ. ''thin Thin tree'') <tex>T_k</tex> ранга <tex>k</tex> {{---}} это дерево, которое может быть получено из [[Биномиальная куча#Биномиальное дерево|биномиального дерева ]] <tex>B_k</tex> удалением самого левого сына у нескольких внутренних, то есть не являющихся корнем или листом, узлов самого левого сына.
}}
Для любого узла <tex>x</tex> в дереве <tex>T_k</tex> обозначим: * <tex>\mathtt{Degree(x)}</tex> {{---}} количество детей узла <tex>x</tex>; .* <tex>\mathtt{Rank(x)}</tex> {{---}} ранг соответствующего узла в [[Биномиальная куча#Биномиальное дерево|биномиальном дереве ]] <tex>B_k</tex>.
== Свойства тонкого дерева ==
{{Утверждение
|id=about_node_degrees. about_thin_tree|statement=Тонкое дерево обладает следующими свойствами:# Для любого узла <tex>x</tex> либо <tex>\mathtt{Degree(x)=Rank(x)}</tex>, в этом случае говорим, что узел <tex>x</tex> не помечен тонкий (полныйполон); либо <tex>\mathtt{Degree(x)=Rank(x)-1}</tex>, в этом случае говорим, что узел <tex>x</tex> помечен тонкий (неполныйне полон).}}{{Утверждение|id=about_root. |statement=# Корень не помечен тонкий (полныйполон).}}{{Утверждение|id=about_children_ranks. |statement=# Для любого узла <tex>x</tex> ранги его детей от самого правого к самому левому равны соответственно <tex>\mathtt{0,1,2,...,Degree(x)-1}</tex>.}}{{Утверждение|id=about_marked_nodes. |statement=# Узел <tex>x</tex> помечен тонкий тогда и только тогда, если когда его ранг на 2 больше, чем ранг его самого левого сына, или его ранг равен 1 , и он не имеет детей.
}}
[[Файл:Thin_trees.png|200x200px|слева|frame|Из [[Биномиальная куча#Биномиальное дерево|биномиального дерева]] ранга 3 получены два тонких дерева. Числа обозначают ранги узлов, закрашенные вершины являются тонкими (не имеют самого левого сына)]]<br clear="all" /> == Тонкая куча ==
{{Определение
|id=thin_forest_def. |definition='''Тонкий лес''' (англ. ''thin Thin forest'') {{---}} это набор ''тонких деревьев'', ранги которых не обязательно попарно различны.
}}
{{Утверждение
|id=about_thin_forest_with_n_nodes.
|statement=Для любого натурального числа <tex>n</tex> существует тонкий лес, который содержит ровно <tex>n</tex> элементов и состоит из тонких деревьев попарно различных рангов.
|proof=Действительно, любой [[Биномиальная куча#Биномиальное дерево|биномиальный лес ]] является тонким, а для биномиального леса рассматриваемое утверждение справедливо.
}}
{{Определение
|id=thin_heap_def. |definition='''Тонкая куча''' (англ. ''thin Thin heap'') {{---}} это [[Двоичная куча|кучеобразно ]] нагруженный ''тонкий лес'', то есть каждое тонкое дерево удовлетворяет условиям [[Двоичная куча|кучи]].
}}
{{Теорема
|id=max_rank_th.
|about=О максимальном ранге узла
|statement=В тонкой куче из <tex>n</tex> элементов <tex>D(n) \leqslant \log_{\Phi} n</tex>, где <tex dpi = "180">\Phivarphi=\fracdfrac{1+\sqrt{5}}{2}</tex> {{---}} золотое сечение.|proof=Сначала покажем, что узел ранга <tex>k</tex> в тонком дереве имеет не менее <tex>F_k \geqslant \Phivarphi^{k-1}</tex> потомков, включая самого себя, где <tex>F_k</tex> — <tex>k</tex>-е число Фибоначчи. Действительно, определяемое соотношениями пусть <tex>F_0=1T_k</tex>{{---}} минимально возможное число узлов, включая самого себя, в тонком дереве ранга <tex>F_1=1k</tex>, . По свойствам <tex>F_k=F_{k-2}+F_{k-1}</tex> для и <tex>k \geqslant 23</tex>.тонкого дерева получаем следующие соотношения:
Числа Фибоначчи удовлетворяют этому же рекуррентному соотношению, причем неравенство можно заменить равенством. Отсюда по индукции следует, что <tex>T_0=1,T_1=1,T_k \geqslant 1+\sum_{i=0}^{k-2}T_iF_k</tex> для любых <tex>k </tex>. Неравенство <tex>F_k \geqslant 2\varphi^{k-1}</tex>[[Фибоначчиева куча#Лемма3|хорошо известно]].
Отсюда следует, что <tex>D(n)\leqslant\log_{\Phivarphi}(n)+1</tex>.
}}
== Представление Структура ===== Структура узла === '''struct''' Node '''int''' key <span style="color:#008000"> // ключ</span> '''int''' rank <span style="color:#008000"> // ранг узла</span> '''Node''' child <span style="color:#008000"> // указатель на самого левого ребенка узла</span> '''Node''' right <span style="color:#008000"> // указатель на правого брата узла, либо на следующий корень, если текущий узел корень</span> '''Node''' left <span style="color:#008000"> // указатель на левого брата узла, либо на родителя, если текущий узел самый левый, либо null, если это корень</span> Для ускорения проверки на тонкость (англ. ''thinness'') можно отдельно хранить тонкость вершины.Также в вершине можно хранить любую дополнительную информацию. === Структура кучи === '''struct''' ThinHeap '''Node''' first <span style="color:#008000"> // указатель на корень дерева с минимальным ключом</span> '''Node''' last <span style="color:#008000"> // указатель на последний корень</span>== Операции над тонкой кучи кучей ==
Для ускорения проверки на ''тонкость'' (''thinness'') можно отдельно хранить помеченность вершины[[Амортизационный анализ|амортизационного анализа]] операций применим [[Амортизационный анализ#Метод потенциалов|метод потенциалов]].
{{Утверждение|id=about_thin_heap_potential|statement= Операции над Определённый таким образом потенциал обладает свойствами:# <tex>\Phi \geqslant 0</tex>.# Для пустой тонкой кучей =кучи <tex>\Phi =0</tex>.}} Пусть <tex>\mathtt{Node}</tex> {{---}} узел тонкого дерева, а <tex>\mathtt{ThinHeap}</tex> {{---}} тонкая куча, причём <tex>\mathtt{ThinHeap}</tex> содержит ссылки на первый и последний корень <tex>\mathtt{first}</tex> и <tex>\mathtt{last}</tex> соответственно.
=== makeHeap ===
Для создания новой пустой тонкой кучи нужно вернуть ссылку на новый пустой корневой список, его потенциал <tex>\Phi=0</tex>.
=== insert ===
=== getMin ===
=== extractMin ===
Чтобы извлечь минимальный элемент из тонкой кучи нужно:
# Удалить корень с минимальным ключом из корневого списка.
# Уменьшить ранг для всех его тонких детей.
# Cлить детей с корневым списком.
# Объединять, пока возможно, тонкие деревья одного ранга.
Это можно сделать, например, с помощью вспомогательного массива размером <tex>O(D(n))</tex>, в <tex>i</tex>-ой ячейке которого хранится корень тонкого дерева <tex>T_i</tex> ранга <tex>i</tex>.
Изначально массив пуст, а мы добавляем в него все деревья нашего корневого списка.
При добавлении нового дерева мы, если дерево такого ранга уже есть в массиве, связываем его с существующим и пытаемся добавить новое дерево с рангом на <tex>1</tex> больше.
<code>
'''Node''' extractMin(H: '''ThinHeap'''):
<span style="color:#008000">// Удаляем минимальный корень из корневого списка</span>
tmp = H.first
H.first = H.first.right
'''if''' H.first == ''null''
H.last = ''null''
<span style="color:#008000">// Снимаем тонкость с его детей и добавляем их в корневой список</span>
x = tmp.first.child
'''while''' x != ''null''
'''if''' isThin(x)
x.rank = x.rank - 1
x.left = ''null''
next = x.right
insert(H, x)
x = next
<span style="color:#008000">// Объединяем все корни одного ранга с помощью вспомогательного массива aux</span>
max = -1
x = H.first
'''while''' x != ''null''
'''while''' aux[x.rank] != ''null''
next = x.right
'''if''' aux[x.rank].key < x.key
swap(aux[x.rank], x)
aux[x.rank].right = x.child
x.child.left = aux[x.rank]
aux[x.rank].left = x
x.child = aux[x.rank]
aux[x.rank] = ''null''
x.rank = x.rank + 1
aux[x.rank] = x
'''if''' x.rank > max
max = x.rank
x = next
<span style="color:#008000">// Собираем все корни обратно в тонкую кучу</span>
H = makeHeap()
i = 0
'''while''' i <= max
insert(H, aux[i])
i = i + 1
'''return''' tmp
</code>
Пусть мы сделали <tex>ls</tex> связывающих шагов (англ. ''linking steps'') во время добавления в массив.
Мы удалили корень из списка за <tex>O(1)</tex>, затем за <tex>O(D(n))</tex> нормализовали детей корня и добавили в корневой список, далее за <tex>O(D(n))+ls</tex> получили новый корневой список, в котором за <tex>O(D(n))</tex> нашли минимальный корень и подвесили список за него.
Получили фактическую стоимость <tex>O(D(n))+ls</tex>. С другой стороны, при добавлении детей в список мы увеличили потенциал <tex>\Phi</tex> не более чем на <tex>O(D(n))</tex>, а каждый связывающий шаг уменьшает наш потенциал <tex>\Phi</tex> на <tex>1</tex>. Отсюда стоимость <tex>O(D(n))=O(\log(n))</tex>.
=== decreaseKey ===
После уменьшения ключа может быть нарушена [[Двоичная куча|кучеобразность]], в этом случае мы переносим все поддерево с корнем в уменьшаемом элементе в корневой список, также обновляем минимум в тонкой куче.
Теперь могут быть нарушены свойства тонкого дерева, будем различать два вида нарушений:
* Братские нарушения {{---}} это нарушения [[Тонкая куча#about_thin_tree|третьего свойства]] тонкого дерева.
* Родительские нарушения {{---}} это нарушения [[Тонкая куча#about_thin_tree|первого или второго свойства]] тонкого дерева.
Назовем узел <tex>y</tex> узлом локализации братского нарушения среди детей узла <tex>z</tex>, если ранг узла <tex>y</tex> отличается от ранга его ближайшего правого брата на 2, либо он не имеет правого брата и его ранг равен 1.
Назовем узел <tex>y</tex> узлом локализации родительского нарушения, если выполнено одно из трех условий:
# Ранг узла <tex>y</tex> на три больше, чем ранг его самого левого сына.
# Ранг узла <tex>y</tex> равен двум, и он не имеет детей.
# Узел <tex>y</tex> есть тонкий корень дерева.
=== delete ===
Стоимость <tex>O(\log(n))</tex>.
= Источники =
* [http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1328914 ''Каплан Х.'', ''Тарьян А. Р..'', Thin Heaps, Thick Heaps // ACM Transactions on Algorithms. {{---}} 2008. {{---}} Т.4. {{---}} №1. {{---}} C. 1{{---}}14. {{---}} ISSN: 1549-6325]
* [http://www.lektorium.tv/lecture/?id=14233 ''Станкевич А. С.'', Дополнительные главы алгоритмов, лекция 1 {{---}} Лекториум]
* [http://www.intuit.ru/studies/courses/100/100/lecture/1542 Тонкие кучи — INTUIT.ru]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Структуры данных]]
[[Категория: Приоритетные очереди]]