Изменения
→Сопряженный оператор
Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.
Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \phi varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.
Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.
<tex> | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| </tex>.
Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A^*^ \| \le \| A \| </tex>.
Для доказательства в обратную сторону используем теорему Хана-Банаха:
