72
правки
Изменения
Нет необходимости рассматривать пустой полуинтервал
'''Дерево отрезков''' (англ. ''Segment tree'') {{---}} это структура данных, которая позволяет за асимптотику <tex>O(\log n)</tex> реализовать любые операции, определяемые на множестве, на котором данная операция ассоциативна, и существует нейтральный элемент относительно этой операции, то есть на [[Моноид | моноиде]]. Например, следующего вида: нахождение суммы (задача RSQ)суммирование на множестве натуральных чисел, поиск минимума или максимума (задача RMQ) элементов массива в заданном отрезке (на любом числовом множестве, перемножение матриц на множестве матриц размера <tex>a[i...j]N*N</tex>, где <tex>i</tex> объединение множеств, поиск наибольшего общего делителя на множестве целых чисел и <tex>j</tex> поступают на вход алгоритма)многочленов.
При этом дополнительно возможно изменение элементов массива: как изменение значения одного элемента, так и [[Несогласованные поддеревья. Реализация массового обновления | изменение элементов на целом подотрезке массива]], например разрешается присвоить всем элементам <tex>a[i...jl \ldots r]</tex> какое-либо значение, либо прибавить ко всем элементам массива какое-либо число. Структура занимает <tex>O(n)</tex> памяти, а ее построение требует <tex>O(n)</tex> времени.
==Структура==
Структура представляет собой дерево, листьями которого являются элементы исходного массива. Другие вершины этого дерева имеют по <tex>2 ребёнка </tex> ребенка и содержат результат операции от своих детей (например минимум или сумму). Таким образом, корень содержит результат искомой функции от всего массива <tex>[0...\ldots n-1]</tex>, левый ребёнок корня содержит результат функции на <texdpi=120>[0...\ldots\dfrac{n/}{2}]</tex>, а правый, соответственно результат на <texdpi=120>[\dfrac{n/}{2}+1...\ldots n-1]</tex>. И так далее, продвигаясь вглубь дерева.
==Построение дерева==
Пусть исходный массив <tex>a</tex> состоит из <tex>n</tex> элементов. Для удобства построения увеличим длину массива <tex>a</tex> так, чтобы она равнялась ближайшей степени двойки, т.е. <tex>2^k</tex>, где <tex>2^k \ge geqslant n</tex>. Это сделано, для того чтобы не допустить обращение к несуществующим элементам массива при дальнейшем процессе построения. Пустые элементы необходимо заполнить нейтральными элементами моноида. Тогда для хранения дерева отрезков понадобится массив <tex>t</tex> из <tex>2^{k+1}</tex> элементов, поскольку в худшем случае количество вершин в дереве можно оценить суммой <tex>n+\dfrac{n/}{2}+\dfrac{n/}{4...} \ldots +1 < 2n</tex>, где <tex>n=2^k</tex>. Таким образом, структура занимает линейную память.
Процесс построения дерева заключается в заполнении массива <tex>t</tex>. Заполним этот массив таким образом, чтобы <tex>i</tex>-й элемент являлся бы значением функции результатом некоторой бинарной операции (для каждой конкретной задачи своей) от элементов c номерами <tex>2i+1</tex> и <tex>2i+2</tex>, то есть родитель являлся значением функции результатом бинарной операции от своих сыновей(обозначим в коде эту операцию как "<tex> \circ </tex>"). Один из вариантов — делать рекурсивно. Пусть у нас имеются исходный массив <tex>a</tex>, а также переменные <tex>\mathtt{tl}</tex> и <tex>\mathtt{tr}</tex>, обозначающие границы текущего полуинтервала. Запускаем процедуру построения от корня дерева отрезков (<tex>i=0</tex>, <tex>\mathtt{tl}=0</tex>, <tex>\mathtt{tr}=n</tex>), а сама процедура построения, если её вызвали не от листа, вызывает себя от каждого из двух сыновей и суммирует вычисленные значения, а если её вызвали от листа — то просто записывает в себя значение этого элемента массива (Для этого у нас есть исходный массив <tex> a </tex>). Асимптотика построения дерева отрезков составит, таким образом, <tex>O(n)</tex>.
Выделяют два основных способа построения дерева отрезков: построение снизу и построение сверху. При построении [[Реализация запроса в дереве отрезков снизу | снизу]] алгоритм поднимается от листьев к корню (Просто начинаем заполнять элементы массива <tex>t</tex> от большего индекса к меньшему, таким образом при заполнении элемента <tex> i </tex> его дети <tex>2i+1</tex> и <tex>2i+2</tex> уже будут заполнены, и мы с легкостью посчитаем функцию бинарную операцию от них), а при построении [[Реализация запроса в дереве отрезков сверху | сверху]] спускается от корня к листьям. Особенные изменения появляются в реализации запросов к таким деревьям отрезков.
[[Файл:Segment_tree.png|Пример дерева отрезков для максимумаминимума]]
Реализация построения сверху:
Реализация построения снизу:
==Персистентное дерево отрезковСм. также=={{Определение|definition='''Персистентной''' (англ. ''Persistent'') называется такая структура данных, которая хранит все свои промежуточные версии.}}{{Определение|definition='''Полностью персистентной''' (англ. ''Fully persistent'') называется такая персистентная структура данных, * [[Реализация запроса в которой разрешено изменять любую её версию и делать запросы к любой её версии.}}На основе дерева дереве отрезков можно построить полностью персистентную структуру данных.сверху]]
===Изменение элемента=Источники информации==Воспользуемся аналогичной схемой, что и при вставке элемента. Для этого найдем в дереве требуемый элемент, скопируем его, изменим значение, и, поднимаясь по дереву, будем клонировать узлы, меняя один из указателей и пересчитывая значение функции. Новый корень добавим в список корней* [http://habrahabr.ru/post/115026/ Хабрахабр — Статья Максима Ахмедова]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Дерево отрезков]]
[[Категория: Структуры данных]]