57
правок
Изменения
Нет описания правки
{{В разработке}}
[[Категория: Теория формальных языков]]
Рассмотрим автомат, переходы в котором переходы осуществляются по строкам. Это переходы вида <tex><p,\alpha\beta>\vdash<q,\beta></tex>, где <tex>\alpha,\beta</tex> --- строки.
{{Теорема
|id=th1
|about=Об эквивалентности автоматов с переходами по строкам и НКА
|statement=
Автоматы с переходами по строкам эквивалентны [[Недетерминированные_конечные_автоматы|недетерминированным конечным автоматам]].
|proof=
Рассмотрим два случая:
* <tex>\left | \alpha \right | \ge 1</tex>
*:Заменим переходы по таким строкам на последовательности переходов по символам. А именно, пусть <tex>\alpha=a_1a_2...a_n</tex>, где <tex>a_1,a_2,...,a_n</tex> --- символы. Заменим переход <tex><p,\alpha\beta>\vdash<q,\beta></tex> на переходы <tex>{<p,\alpha\beta>\vdash<t_1, a_1^{-1}\alpha\beta>},{<t_1,a_1^{-1}\alpha\beta>\vdash<t_2,(a_1a_2)^{-1}\alpha\beta>},...,{<t_{n-1}, a_n>\vdash<q, \beta>}.</tex>
* <tex>\left | \alpha \right | = 0 \Rightarrow \alpha = \varepsilon</tex>
*:Рассматриваем '''автомат <tex>A</tex> с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.''' Для доказательства его эквивалентности НКА посторим его <tex>\varepsilon</tex>-замыкание.
Ход построения <tex>\varepsilon</tex>-замыкания:
#Транзитивное замыкание
#:Пусть <tex>B</tex> - подгаф <tex>A</tex>, в котором есть только <tex>\varepsilon</tex>-переходы. Сделаем транзитивное замыкание графа <tex>B</tex>. Таким образом, получим из автомата <tex>A</tex> новый автомат <tex>A_1</tex>, который допускает тот же язык. Заметим, что если <tex>A_1</tex> допускает слово <tex>x</tex>, то он допускает его<tex>x</tex>, не совершая двух <tex>\varepsilon</tex>-переходов подряд.
#Добавление допускающих состояний
#:Пусть в <tex>A_1</tex> есть <tex>\varepsilon</tex>-переход из состояния <tex>u</tex> в состояние <tex>v</tex>, причем <tex>v</tex> - допускающее. Тогда, если текущее состояние <tex>u</tex> и строка закончилась, то ее можно допустить. Во всех таких случаях сделаем <tex>u</tex> допускающим. Получим автомат <tex>A_2</tex>, обладающий тем же свойством, что и <tex>A_1</tex>, а также не совершающий <tex>\varepsilon</tex>-переходов в качестве последнего перехода.
#Добавление ребер
#:Во всех случаях, когда <tex>{\delta(u,\varepsilon)=v},{\delta(v,c)=w}</tex> добавим переход <tex>\delta(u,v)=c</tex>. Заметим, что если полученный автомат <tex>A_3</tex> допускает <tex>x</tex>, то он допускает его <tex>x</tex> не совершая <tex>\varepsilon</tex>-переходов.
#Устранение <tex>\varepsilon</tex>-переходов
#:Из предыдущего замечания следует, что если теперь устранить <tex>\varepsilon</tex>-переходы, то допускаемый язык не изменится. Уберем из <tex>A_3</tex> все <tex>\varepsilon</tex>-переходы.
|about=Об автоматах с <tex>\varepsilon</tex>-переходами и ДКА
|statement=
Множество языков, допускаемых автоматами с <tex>\varepsilon</tex>-переходами, совпадает с множеством языков, допускаемых ДКА[[Детерминированные_конечные_автоматы|детерминированными конечными автоматами]].|proof=[[Построение_по_НКА_эквивалентного_ДКА,_алгоритм_Томпсона|L(ДКА) = L(НКА)]]. По только что доказанной теореме, L(НКА) = L(<tex>\varepsilon</tex>-НКА). Значит, L(ДКА) = L(<tex>\varepsilon</tex>-НКА).
}}
