689
правок
Изменения
м
→Альтернатива Фредгольма-Шаудера
|proof=
# <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>, то есть <tex> R(T) = X </tex>, тогда <tex> y = Tx </tex> действительно разрешимо для всех <tex> y </tex>
# <tex> \operatorname{Ker} T \ne \{0\} </tex>, по первой теореме этого параграфа, <tex> R(T) = \operatorname{Cl} R(T) </tex>. По [[Сопряженный оператор#Теоремы о множестве значений оператора|общим теоремам о сопряженном операторе]], <tex> \operatorname{Cl} R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>. Рассмотрим <tex> y = Tx </tex>, очевидно, оно разрешимо, когда <tex> y \in R(T) </tex>, то есть, <tex> y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>.
}}
