Изменения

пусть Пусть <tex>\mathcal{A:}\colon X \to X</tex> - линейный оператор (ЛО)<br> <tex>x\ne 0_x</tex> называется '''собственным вектором'''<tex>\mathcal{A}</tex>, если <tex>x \in L</tex>, где <tex>L</tex> {{- --}} [[Инвариантные подпространства | инвариантное подпространство ]] <tex>\mathcal{A}</tex>, b и <tex>dimL \dim L = 1</tex>

пусть Пусть <tex>\mathcal{A:}\colon X \to X</tex> <br> <tex>x\ne 0_x0_X</tex> называется '''собственным вектором'''<tex>\mathcal{A}</tex>, если существует <tex>\lambda \in F : Ax \colon \mathcal{A}x = \lambda x</tex>

предыдущие Предыдущие 2 утверждения определения эквивалентны.

<texmath> (1)\Rightarrow (2) : \colon x \in L, \dim(L)=1 \Rightarrow Ax \mathcal{A}x \in L \ (</math>т. к. <math>x \ne 0_x 0_X \Rightarrow basis </math> базис <math>L = \{x\}), then Ax \Rightarrow \mathcal{A}x=! \lambda x</texmath> (единственным образом) <br><tex> (1) \Leftarrow (2) : \colon \exists \lambda: Ax\mathcal{A}x =\lambda x \Rightarrow x \in</tex> одном.(одномерному) п.п.подпространству <tex>L</tex>, где <tex>L =</tex> линейная оболочка <tex>\{x\}, Ax \mathcal{A}x = \lambda x \in L</tex>

<tex>\lambda</tex> в равенстве <tex>Ax \mathcal{A}x = \lambda x</tex> называется '''собственным числом(собственным значением)''' ЛО <tex>\mathcal{A}</tex>

'''спектромСпектром''' <tex>\sigma</tex> ЛО называется множество всех его '''собственных значений''' <br><tex>\sigma (\mathcal{A}) = \sigma _A _\mathcal{A} = \{ \lambda _i \}</tex>

// здесь мог быть пример, но думаю всем и так понятно

'''собственные Собственные векторы''', отвечающие различным '''собственным значениям''' образуют ЛНЗ набор

1)базаБаза: рассмотрим <tex>\lambda \leftrightarrow x1 x_1 \ne 0_x \ \{x1x_1\} </tex> - ЛНЗнабор.</texbr> 2) <tex>\{x1x_1,x2x_2, ... , x_{m-1}\} \leftrightarrow \{\lambda _1, ... \lambda _ {m-1 } \}</tex> - ЛНЗ. Рассмотрим <tex>\{x1x_1, ..., x_m \} </tex>- доказать докажем, что тоже ЛНЗ.

<tex>\sum\limits_{ki=1}^m \alpha^i x_i = 0 </tex>

<tex>\mathcal{A}( \sum\limits_{ki=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{ki=1}^m \alpha_i Ax_i = \sum\limits_{ki=1}^m \alpha_i \lambda_i x_i = 0_x</tex> (1)

<tex>\lambda_m( \sum\limits_{ki=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{ki=1}^m \alpha_i \lambda_m x_i = 0_x</tex> (2)

(1) - (2) : <tex>\alpha_1(\lambda_1 - \lambda_m)x_1 + ... + \alpha_malpha_{m-1}(\lambda_mlambda_{m-1 } - \lambda_m)x_mx_{m-1 } + 0_x = 0_x</tex>

по По предположению индукции <tex>\{x1x_1,x2x_2, ... , x_{m-1}\}</tex> - ЛНЗ <tex>\Rightarrow \alpha_1 (\lambda_1-\lambda_m)=0 ... \alpha_{m-1} (\lambda_{m-1} - \lambda_{m}) =0 </tex>, при этом все <tex>(\lambda_{i-1}-\lambda_m) \ne 0</tex>

<tex>\Rightarrow </tex> все <tex>\alpha_i = 0</tex> <tex>\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i = 0_x</tex>

<tex>\Rightarrow \alpha_m x_m = 0_x </tex>, где <tex>x_m \ne 0_x</tex> <tex>\Rightarrow \alpha_m=0</tex> те , т.е. набор ЛНЗ.

множество Множество всех собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению оператора <tex>\mathcal{A}</tex>, образует подпространство пространства <tex>X</tex>.|proof= не было у Ани в конспекте1) Если <tex>x</tex> {{---}} св, то и <tex> \alpha x</tex> {{---}} тоже св. наверное не нужно = 2) Если <tex>x,y</tex> {{---}} св, то и <tex>x+y</tex> {{---}} тоже св. Из 1 и 2 <tex>\Rightarrow</tex> что лемма доказана (по определению подпространства) 

пусть <tex>L = </tex> линейная оболочка <tex>\{</tex> все СВ <tex> x_i \leftrightarrow \lambda_i \}</tex> называют собственным подпространством <tex>X \leftrightarrow</tex> СЗ <tex>\lambda_i</tex>

пусть Пусть L - лин линейная оболочка<tex>\{ </tex> всех <tex>x_i \leftrightarrow \lambda_i\}</tex>пусть Пусть <tex>X_{\lambda i}</tex> - собственное подпространство X <tex>\leftrightarrow \lambda_i</tex>тогда Тогда <tex>L = X_{\lambda i}</tex>

сначала Сначала <tex>\subseteq</tex> потом <tex>\supseteq</tex> <tex>\Rightarrow</tex> доказательство(так в конспекте);Вообще не понятно, зачем эта лемма, ибо она по определению.

у У ЛО не может быть больше <tex>n</tex> СЗ, где <tex>n = dimX</tex>|proof= не было у Ани в конспекте(идет как упражнение)По теореме выше, набор собственных векторов - ЛНЗ набор. наверное <tex>\Rightarrow</tex> их не нужно больше чем размерность пространства, а <tex>dim X =)n </tex>.