262
правки
Изменения
Нет описания правки
=Метрическое пространство=
==Определение==
Пусть <tex>M</tex> - множество, тогда <tex>M</tex> называется '''метрическим пространством''', если на нём определена функция <tex>f\rho:\: M\times M\longrightarrow R</tex> (расстояние), такая, что выполняются три аксиомы:
<tex>1)\:f\rho(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y</tex> - аксиома тождества;
<tex>2)\:f\rho(x,y)=f\rho(x,y)</tex> - аксиома симметрии;
<tex>3)\:f\rho(x,y)+f\rho(y,z)\geq f\rho(x,z)</tex> - аксиома(неравенство) треугольника;
==Примеры==
1) Дискретная:<tex>
1,\: x\ne y\\
0,\: x=y
\end{array}\right\}</tex>
2) <tex>M=R^{n}; \: f\rho(x,y)=max\:|x_{i}-y_{i}|</tex> (по всем i)
=Нормированное пространство=
<tex>3)\Vert x+y \Vert \leq \Vert x \Vert+\Vert y \Vert</tex>
{{Лемма
|id=lemma1
|about=1
|statement=
Любое нормированное пространство является метрическим(обратное не верно!)
|proof= Очевидно, <tex>\rho(x,y)=\Vert x-y \Vert</tex>
}}
=Вещественное псевдоевклидово пространство=
==Определение==
Пусть <tex>E</tex> - линейное пространство над <tex>R</tex>. Пусть на <tex>E</tex> задана т.н. метрическая форма <tex>G(x,y)</tex>, такая, что выполняются три свойства:
<tex>1)G(x,y)</tex> - билинейная форма валентности (2;0) <tex>(x,y \in E)</tex>
<tex>2)G(x,y)=G(y,x)</tex> - симметричность
<tex>3)</tex> При <tex>x=0: G(x,y)=0</tex> при любых <tex>y \in E</tex> - невырожденность
Тогда <tex>E</tex> называется вещественным псевдоевклидовым пространством
=Вещественное евклидово пространство=
==Определение==
