1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
==Ортогональность в евклидовом пространстве==
{{Определение
|definition=
[http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B5%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE Евклидово пространство] над комплексным полем <tex> \mathbb{C} </tex> называется '''унитарным пространством'''
}}
{{Определение
|definition=
Расстояние между двумя элементами унитарного пространства: <tex>dist(x;y)= \Vert x-y \Vert </tex>
}}
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>x,y \in E</tex>. Говорят, что <tex>x \bot y </tex>, если <tex>\left \langle x;y \right \rangle_G=G(x,y)=0</tex>
}}
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex>x \bot x_1, x_2...x_k</tex>. Тогда <tex> x \bot \forall </tex> линейной комбинации <tex> \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i</tex>, то есть <tex>x \bot x_i, \ (i=1..k)</tex>
|proof=
<tex> \left \langle \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i;x \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^i \left \langle x_i;x \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^i \overline{\left \langle x;x_i \right \rangle}=0 </tex>
}}
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>L - </tex> подпространство унитарного линейного пространства <tex>E</tex>, тогда говорят, что <tex>x \bot L </tex>, если <tex>x \bot \forall y \in L </tex>
}}
{{Определение
|definition=
Подпространство <tex>M=\{</tex> все <tex>x \in E: \ x \bot L \}</tex> называется ортогональным дополнением к <tex>L</tex> в <tex>E</tex>, обозначается <tex>M=L^ \bot </tex>
}}
{{Теорема
|statement=
Если в наборе векторов <tex> \{x_i\}_{i=1}^{k}</tex>, <tex>x_i \bot x_j (i \ne j)</tex>, тогда набор<tex> \{x_i\}_{i=1}^{k} - </tex> ЛНЗ
|proof=
Предположим, что <tex> \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i=0_E \Rightarrow \alpha^1=...= \alpha_k=0</tex> (доказать).
<tex>\left \langle \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i;x_j \right \rangle = \left \langle 0_E;x_j \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^i \left \langle x_i;x_j \right \rangle=0</tex>
1) <tex>i \ne j \Rightarrow \left \langle x_i;x_j \right \rangle=0 </tex>
2) <tex>i=j \Rightarrow \left \langle x_i;x_j \right \rangle \ne 0 \Rightarrow \alpha^j=0</tex>
}}
NB: <tex>k \leqslant n =\dim E</tex>
{{Теорема
|statement=
Теорема Пифагора: пусть <tex>\{x_i\}_{i=1}^{k}</tex> и <tex>x_i \bot x_j (i \ne j)</tex>, тогда <tex>\Vert \sum\limits_{i=1}^{k} x_i \Vert^2= \sum\limits_{i=1}^{k} \Vert x_i \Vert^2 </tex>
|proof=
<tex>\Vert \sum\limits_{i=1}^{k} x_i \Vert^2= \left \langle \sum\limits_{i=1}^{k} x_i;\sum\limits_{j=1}^{k} x_j \right \rangle=\sum\limits_{i,j=1}^{k} \left \langle x_i;x_j \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \left \langle x_i;x_i \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \Vert x_i \Vert^2 </tex>
}}
==Ортогональный и ортонормированный базис==
{{Определение
|definition=
{{Определение
|definition=
Базис <tex dpi='140'>\{e_i\}_{i=1}^{n}</tex> называется '''ортонормированным'''(ОРТН), если <tex>\left \langle e_i;e_j \right \rangle=\delta_{ij}</tex>, то есть:
1) <tex>e_i \bot e_j</tex>, для <tex>(i \ne j)</tex>.
2) <tex> \Vert e_i \Vert=1 \ (i=1..n) </tex>
}}
==Процесс ортогонализации набора векторов (Грам-Шмидт)==
{{Утверждение
|statement=
|proof=
Докажем методом от противного.
Пусть <tex>e_k=0</tex>, тогда <tex>(*): \ 0=e_k=x_k + \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + ... + \alpha_{k-1}e_{k-1}</tex>
<tex>\alpha_1 e_1=x_1, \ \alpha_2 e_2</tex> - линейная комбинация<tex> \{x_1, x_2\} </tex> и так далее <tex>\alpha_{k-1} e_{k-1}</tex> - линейная комбинация<tex>\{x_1, x_2...x_{k-1}\} </tex>
Тогда <tex>0_E=x_k+\sum\limits _{i=1}^{k-1} \beta_ix_i </tex>. Но <tex>\{x_1...x_k\} - </tex> ЛНЗ набор, как поднабор ЛНЗ набора, среди коэффициентов разложения есть не нулевой (у <tex>x_k</tex>), тогда приходим к противоречию, так как набор коэффициентов не тривиальный, а вектора ЛНЗ.
Значит, предположение не верно и <tex>e_k \ne 0</tex>, то есть процесс ортогонализации не оборвется пока набор будет ЛНЗ.
}}
<tex>\{x_i\}_{i=1}^{n} \rightarrow \{e_i\}_{i=1}^{n}</tex>, таким образом получаем ортогональный набор векторов.
}}
{{Лемма
|statement=
<tex>\{x_i\}_{i=1}^{k-1} - </tex> ЛНЗ, <tex>\{x_i\}_{i=1}^{k} - </tex> ЛЗ, тогда <tex>e_k=0</tex>
|proof=
Доказательство очевидно из леммы, доказанной выше.
}}
==Свойства==
{{Лемма
|statement=
<tex> \Vert e_k \Vert \leqslant \Vert x_k \Vert </tex>
|proof=
Рассмотрим <tex> \left \langle (*);e_k \right \rangle </tex>
<tex> \left \langle e_k;e_k \right \rangle = \left \langle x_k;e_k \right \rangle + \alpha_1 \left \langle e_1;e_k \right \rangle +...+ \alpha_{k-1} \left \langle e_{k-1};e_k \right \rangle </tex>, но <tex> \left \langle e_i;e_k \right \rangle=0 \ (i=1..k-1)</tex>
<tex> \Rightarrow \Vert e_k \Vert^2= \left \langle x_k;e_k \right \rangle </tex> по неравенству Шварца <tex> \Rightarrow \Vert e_k \Vert^2 \leqslant \Vert x_k \Vert \cdot \Vert e_k \Vert </tex>, так как <tex>\Vert e_k \Vert \ne 0 \Rightarrow \Vert e_k \Vert \leqslant \Vert x_k \Vert </tex>
}}
{{Теорема
|statement=
В любом конечномерном унитарном пространстве существует ортогональный и даже ортонормированный базис.
|proof=
Ортогональный базис получается процессом ортогонализации Грама-Шмидта. Из ортогонального по определению легко получить ортонормированный.
}}
{{Лемма
|statement=
<tex> \forall x,y \in E </tex> в ОРТН базисе <tex>\{e_i\}_{i=1}^{n} \Rightarrow \left \langle x;y \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^n \xi^i \overline{ \eta^k }</tex>
|proof=
<tex> \left \langle x;y \right \rangle=\left \langle \sum\limits_{i=1}^n \xi^i e_i; \sum\limits_{k=1}^n \eta^k e_k \right \rangle= \sum\limits_{i,k=1}^n \xi^i \overline{\eta^k} \left \langle e_i;e_k \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^n \xi^i \overline{\eta^k} </tex>
}}
{{Лемма
|statement=
Если для <tex> \forall x,y \in E </tex> верно, что <tex> \left \langle x;y \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^n \xi^i \overline{\eta^k}</tex>, то соответствующий базис <tex>\{e_i\}_{i=1}^{n} - </tex> ОРТН.
|proof=
Доказательство предыдущей леммы в обратную сторону, то есть получаем, что <tex> \left \langle e_i;e_j \right \rangle= \delta_{ik} </tex>, тогда базис ОРТН по определению.
}}
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
