119
правок
Изменения
→Критерий обратимости матрицы
{{Теорема
|statement=
Квадратная матрица <tex>A</tex> обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть ее определитель НЕ равен нулю<tex>\det A \neq 0</tex>.|proof =определитель НЕ равен нулю*Если матрица <tex>A</tex> обратима, то <tex>AB = E</tex> для некоторой матрицы <tex>B</tex>. Тогда в силу теоремы(, если квадратные матрицы одного и того же порядка, то <tex>\det(AB) = detA * detB\det A \cdot \det B</tex>):*<tex>1 = \det E = \det(AB) = detA * detB\det A \cdot \det B</tex>, следовательно, <tex>detA \ne det A \neq 0, \det B \neq 0</tex>.*Теперь докажем обратное утверждение. Пусть <tex>\det A \ne 0</tex>. Положим <tex>B = \frac{1}{detA\det A}A^{*}</tex>
Тогда <tex>AB = A(\frac{1}{detA}A^{*}) = \frac{1}{detA}(AA^{*})</tex> то есть, <tex>A</tex> обратима справа.
*Поскольку для квадратной матрицы одно и двусторонняя обратимость эквивалентны (Квадратная матрица <tex>A</tex> обратима справа тогда и только тогда, когда она обратима слева.), получаем, что <tex>A</tex> обратима и <tex>A^{-1} = B = \frac{1}{detA}A^{*}</tex>
