418
правок
Изменения
Нет описания правки
<tex>(A^0 = I)</tex>
{{Теорема|statement=
Пусть <tex>p_1(\lambda)</tex> и <tex>p_2(\lambda)</tex> - взаимнопростые
Тогда <tex>\exists q_1(\lambda) и q_2(\lambda):p_1(A)*q_1(A)+p_2(A)*q2(A)=I</tex>
|proof==proof
Было:<tex>p_1(\lambda)*q_1(\lambda)+p_2(\lambda)*q_2(\lambda)=1</tex> <tex>(*)</tex>
<tex>S_A(*): p_1(\lambda)*q_1(\lambda)+p_2(\lambda)*q_2(\lambda) = S_A 1 = I</tex>, ч.т.д.
}}
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>p(\lambda)=p_1(\lambda)*p_2(\lambda)</tex> (Н.О.Д. <tex>\{p_1(\lambda), p_2(\lambda)\}=1</tex>)
Тогда <tex>Ker p(A)=Ker p_1(A) + Ker p_2(A)</tex>
|proof=
1) Пусть <tex>x=x_1+x_2</tex>, где <tex>x_1 \in Ker p_1(A)</tex>, <tex>x_2 \in Ker p_2(A) => </tex>
<tex>p(A)x=p(A)x_1+p(A)x_2 = p_1(A) \cdot p_2(A) x + p_1(A)p_2(A) x_2 = </tex>(коммутативность)<tex> =
p_2(A)*p_1(A)x_1+p_1(A)0=0+0=0 =></tex> <tex>x \in Ker p(A)</tex>
Итого: <tex>Ker p_1(A)+Ker p_2(A) inini Ker p(A)</tex>
2) Надо: <tex>Ker p(A) inini Ker p_1(A) + Ker p_2(A)</tex>
<tex>\forall x = x_1 + x_2 (?)</tex>
<tex>\forall x \in Ker p(A), x_1 \in Ker p_1(A), x_2 \in Ker p_2(A)</tex>
Пусть <tex>x = Ix = p_2(A)q_2(A)x+p_1(A)q_1(A)x, x \in Ker p(A)</tex>
Рассмотрим <tex>p_1(A)x_1 = (p_1(A) \cdot p_2(A))q_2(A)x= p(A)\cdot q_2(A)x = q_2(A)\cdot p(A) x</tex>
I. Итого: <tex>Ker p(A) = Ker p_1(A)+Ker p_2(A)</tex>
II. <tex>+ -> +..</tex>
Надо: <tex>Ker p_1(A) per Ker p_2(A) = \{0_x\}</tex>
<tex><- U:z:Ker p_1(A) per Ker p_2(A)</tex>
Рассмотрим <tex>z=Iz=p_1(A)q_1(A)z+p_2(A)q_2(A)z=q_1(A)p1(A)z+q_2(A)p_2(A)z=0</tex>, ч.т.д.
}}
Следствие. Пусть p(\lambda)=\PI_{i=1}^k p_i(\lambda), где p_i(\lambda) - взаимнопростые делители p(\lambda). Тогда <tex>Ker p(A)+..\displaystyle \sum_{i=1}^k Ker p_i(A)</tex>
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>p(\lambda):p(A) = O</tex>. Тогда <tex>p(\lambda)</tex> называется аннулирующим полиномом линейного оператора A.
}}
N.B: <tex>p(A)=O <=> \forall x \in X:p(A)x = Ox <=> p(A)x = \{Ox\} <=> Im p(A) =\{Ox\} <=> Ker p(A) =X</tex>
Лемма 1.
Рассмотрим <tex>X \times X</tex> и <tex>\{I,A,A^2,...\}</tex>. <tex>dim X=n</tex> <tex>dim X \times X = n^2</tex>
Аннулирующие полиномы есть в природе.
<tex>\{I,A,A^2,...\}</tex> - набор ЛЗ <tex>=></tex> <tex>\exists \alpha_s: \displaystyle \sum_{s=0}^{n^2} \alpha_s \cdot A^2 = O</tex>
Рассмотрим <tex>p(\lambda)=\displaystyle \sum_{s=0}^{n2} \alpha_s \cdot \lambda^s</tex> - аннулирующий полином.
Теорема.
Множество всех аннулирующих полиномов данного автоморфизма образует идеал А в алгебре скалярных полиномов P.
I_A
