137
правок
Изменения
→Пересадка формы из E^* в E
<tex>(f^k;e_i) = \delta^k_i</tex>(сопряжённые базисы)
Рассмотрим <tex>\mathcal{G}^{-1}f^k = e_i e^k \in E</tex>
{{Лемма
|about = 1
|statement= <tex>{\{e^k\}}_{k=1}^n</tex> - базис <tex>E</tex>;
|proof=ЛНЗ набор <tex>\{ f^1, ... , f^n\}</tex> под действием <tex>\mathcal{G}^{-1}</tex> переходит в <tex>\{ e^1, ... , e^n\}</tex>
Значит, <tex>{\{e^k\}}_{k=1}^n</tex> - базис <tex>E</tex>
}}
{{Лемма
|about = 2
|statement= <tex>\left\langle e^k;e^ie_i\right\rangle=\left\langle e^ie_i;e^k\right\rangle = \delta^k_i</tex>;
|proof= <tex>\left\langle e^k;y\right\rangle = (f^k;y); \forall y \in E</tex> Пусть <tex>y=e_i</tex>, тогда <tex>\left\langle e^k;e_i\right\rangle=(f^k;e_i)=\delta^k_i</tex>
Рассмотрим <tex>\left\langle e_i;e^k\right\rangle=\overline{\left\langle e^k;e_i\right\rangle}=\overline{\delta^k_i} = \delta^i_kk_i</tex>
}}
{{Определение
<tex>G = \Vert g_{ik}\Vert; \left\langle x,y\right\rangle = \sum\limits^n_{i,k=1}{\xi^{i}g_{ik}\eta^k}</tex>
{{Теорема
|statement= <tex>e^k= \sum\limits^n_{i=1}{g^{ki}e_i} (1)</tex>; <br> <tex>e_k= \sum\limits^n_{i=1}{g_{ki}e^i} (2)</tex>, где <tex>\Vert g^{ki}\Vert=\Vert g_{ki}\Vert^{-1}</tex>
|proof= <tex>{\{e^i\}}_{i=1}^n</tex> - базис <tex>E \Longrightarrow e_k = \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i}</tex>(разложение единственно)
<tex>\left\langle e_k;e_j\right\rangle = g_{kj}</tex>, т.е <tex>g_{kj}=\alpha_{kj}</tex>
Переход от <tex>(2) </tex> к <tex>(1)</tex> производится путём умножения на обратную матрицу:
<tex>G^{-1} \vert e_{(k)} = G\cdot e^{(i)}</tex> - и приводим приходим к равенству <tex>(1)</tex>
}}
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
