137
правок
Изменения
→Обратимость в алгебре
{{Определение
|definition=Пусть <tex>z \in X</tex>. Левый обратный элементу <tex>z</tex>, являющийся одновременно и правым обратным к нему, называется обратным и обозначается <tex>z^{-1}</tex>. При этом сам элемент называется обратимым.
}}
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex>x,y,z \in</tex> алгебре <tex>X</tex>
<tex>xz=e, \ x</tex> {{---}} левый обратный
<tex>zy=e, \ y</tex> {{---}} правый обратный.
Тогда <tex>z</tex> обратим, при этом <tex>z^{-1}=x=y</tex> и <tex>z^{-1} - !</tex>
|proof=
'''Факт 1.''' <tex>x \cdot z \cdot y=(x \cdot z) \cdot y=e \cdot y=y</tex>, но <tex>x \cdot z \cdot y=x \cdot (z \cdot y)=x \cdot e=x \Rightarrow x=y</tex>, тогда по определению <tex>z^{-1}=x=y</tex>.
'''Факт 2.''' Пусть <tex>\exists z^{-1}, \ \tilde{z}^{-1}</tex>
<tex>z^-1 \cdot z \cdot \tilde{z}^{-1}=(z^{-1} \cdot z) \cdot \tilde{z}^{-1}=e \cdot \tilde{z}^{-1}=\tilde{z}^{-1}</tex>, но <tex>z^{-1} \cdot z \cdot \tilde{z}^{-1}=z^{-1} \cdot (z \cdot \tilde{z}^{-1})=z^{-1} \cdot e=z^{-1} \Rightarrow z^{-1}=\tilde{z}^{-1} \Rightarrow z^{-1}-!</tex>
}}
