497
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Теорема
|statement=
Множество всех аннулирующих полиномов данного автоморфизма <tex>A</tex> образует идеал А в алгебре скалярных полиномов <tex>P</tex>.
|proof=
<tex>I_A</tex>
{{Теорема
|statement = Для <tex>p(A)=q(A)</tex>, Н и Д, чтобы <tex>(p(\lambda)-q(\lambda))::</tex> делился на <tex>p_A(\lambda)</tex>
|proof=
<tex>p(A)=q(A) \Leftrightarrow p(A)-q(A) = O \Leftrightarrow (p(A)-q(A))x=Ox </tex>(для <tex>\forall x \in X</tex>)
Пусть <tex>r(\lambda)</tex> - остаток от деления <tex>p(\lambda)</tex> на <tex>p_A(\lambda)</tex>
Тогда <tex>p(A)=r(A)</tex>
<tex>p(\lambda)=p_A(\lambda)\cdot q(\lambda)+r(\lambda)</tex>
{{Теорема
|statement= Пусть <tex>p_A(\lambda)=\prod_{i=1}^k p_ap_i(\lambda)</tex> (<tex>p_i(\lambda)</tex> - взаимнопростые взаимно простые делители)
Тогда <tex>X = \dotplus\sum_{i=1}^n \ker p_i(A)</tex>
потому, что <tex>\ker p_A(A) = X</tex>
}}
Тогда <tex>\ker p_1(A) = Im p_2(A)</tex>
|proof=
<tex>p_A(A)X = \{Ox\}</tex> <br><tex>p_1(A)(p_2(A)X)=\{Ox\}</tex> <br><tex>p_2(A)X = Im p_2(A)</tex> <br>\Rightarrow <tex>\forall x \in Im p_2(A):p_1(\mathcal{A})x=Ox \Rightarrow Im p_2(\mathcal{A}) \subset \ker p_1(\mathcal{A})</tex> <br>
<tex>dim Im p_2(\mathcal{A}) = dim \ker p_1(\mathcal{A}) (?)</tex>
<tex>X=\ker p_A(\mathcal{A})=\ker p_1(\mathcal{A}) \dotplus \ker p_2(\mathcal{A})</tex>
